问题及解答

设 $\ell_1$ 和 $\ell$ 是平面内两条相交直线, 方程分别为:

\[
\begin{aligned}
\ell_1: & A_1 x+B_1 y+C_1=0,\\
\ell: & Ax+By+C=0,
\end{aligned}
\]

求 $\ell_1$ 关于 $\ell$ 对称的直线的方程.

解.  过 $\ell_1$ 和 $\ell$ 的交点的直线束为:

\[
A_1x+B_1y+C_1+\lambda(Ax+By+C)=0,\quad\lambda\in\mathbb{R}.
\]

该直线束不包含 $\ell$. 假设 $\ell_2$ 为 $\ell_1$ 关于 $\ell$ 对称的直线, 则其直线方程为

\[
(A_1+\lambda A)x+(B_1+\lambda B)y+C_1+\lambda C=0.\tag{*}
\]

任取 $\ell$ 上一点 $(x_0,y_0)$, 则该点到 $\ell_1$ 和 $\ell_2$ 的距离相等, 利用点到直线的距离公式, 得

\[
\frac{|A_1 x_0+B_1 y_0+C_1|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}=\frac{|(A_1+\lambda A)x_0+(B_1+\lambda B)y_0+C_1+\lambda C|}{\sqrt{(A_1+\lambda A)^2+(B_1+\lambda B)^2}},
\]

但是注意到 $(x_0,y_0)\in\ell$, 故 $Ax_0+By_0+C=0$, 因此上式可化简为

\[
\frac{|A_1 x_0+B_1 y_0+C_1|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}=\frac{|A_1 x_0+B_1 y_0+C_1|}{\sqrt{(A_1+\lambda A)^2+(B_1+\lambda B)^2}}.
\]

这推出

\[
\begin{split}
&A_1^2+B_1^2=(A_1+\lambda A)^2+(B_1+\lambda B)^2\\
\Rightarrow\ &0=\lambda^2 A^2+2\lambda A_1 A+\lambda^2 B^2+2\lambda B_1 B\\
\Rightarrow\ &0=\lambda^2(A^2+B^2)+2\lambda(A_1 A+B_1 B),
\end{split}
\]

注意 $\lambda\neq 0$, 故

\[
\lambda=-\frac{2(A_1 A+B_1 B)}{A^2+B^2}.
\]

将其带入 (*) 即得所求直线的方程.