设 $A$ 是 $n$ 阶实方阵, 证明 $r(A^n)=r(A^{n+1})=r(A^{n+2})$.

设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵, 若存在 $X$ 使得 $e^X=A$, 则 $\det(A)=e^{\text{tr}(X)}$. 从而 $A$ 必须是可逆的.
 

设 $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的三个向量, 证明:

\[
\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\langle\vec{a},\vec{c}\rangle\vec{b}-\langle\vec{a},\vec{b}\rangle\vec{c}
\]

并有下面的推论

Cor1. 对3维欧氏空间中任意向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$, 有

\[
|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2=|\vec{a}|^2\langle\vec{b},\vec{c}\rangle^2+|\vec{b}|^2\langle\vec{c},\vec{a}\rangle^2+|\vec{c}|^2\langle\vec{a},\vec{b}\rangle^2-2\langle\vec{a},\vec{b}\rangle\langle\vec{b},\vec{c}\rangle\langle\vec{c},\vec{a}\rangle+[\det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})]^2
\]

该推论有明显的几何意义, 若设 $\alpha=\angle(\vec{a},\vec{b})$, $\beta=\angle(\vec{b},\vec{c})$, $\gamma=\angle(\vec{c},\vec{a})$, 则由上面的推论得

\[
|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2=|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2(\cos^2\beta+\cos^2\gamma+\cos^2\alpha)-2|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma+[\det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})]^2.
\]

若 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 模长均为 1, 则有

Cor2.

\[
1=\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma+[\det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})]^2
\]

当然, 特别的有

Cor3. 若 $\alpha=\beta+\gamma$, 则显然由这三个向量构成的平行六面体的体积为零. 从而有

\[
1=\cos^2(\beta+\gamma)+\cos^2\beta+\cos^2\gamma-2\cos(\beta+\gamma)\cos\beta\cos\gamma
\]

当然这个恒等式可以直接验证.

设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵, 若满足下列条件之一:

(i) $A=B^T B$, 其中 $B$ 是 $m\times n$ 的列满秩矩阵.

(ii) $A$ 的所有 $k$ 阶主子式之和大于零, $k=1,2,\ldots,n$.

(iii) $A$ 的所有顺序主子式大于零.

则 $A$ 是正定的.

Remark: (i) 中如果 $B_{m\times n}$ 不是列满秩的, 则 $A$ 是半正定的.

设 $U$ 是非奇异实矩阵, 则存在正交矩阵 $O$ 和某个正定矩阵 $P$, 使得 $U=PO=OP$. 并且这个表示法是唯一的.

若 $U$ 是辛矩阵, 则 $P$ 和 $O$ 都是辛矩阵.

正交矩阵 $O$ 是辛矩阵当且仅当形如

\[O=\begin{pmatrix}A & B\\ -B & A\end{pmatrix}\]

其中 $A^t B$ 是对称矩阵, 且 $A^t A+B^t B=I_n$.

这些条件也是复矩阵 $C=A+iB$ 是酉矩阵的充要条件.

于是我们证明了

\[\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})\cap\mathrm{O}(2n)\cong\mathrm{U}(n).\]

类似的问题:

问题861

问题1915

同济大学

http://web.tongji.edu.cn/~math/xxds/

Pauli spin 矩阵指的是

\[
\sigma^1=
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix},\quad
\sigma^2=
\begin{pmatrix}
0 & i\\
-i & 0
\end{pmatrix},\quad
\sigma^3=
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix},
\]

它们之间的关系是

\[(\sigma^i)^2=I,\quad i=1,2,3.\]

\[\sigma^i\sigma^j=-\sigma^j\sigma^i\]

\[
\begin{aligned}
\sigma^1\sigma^2=-i\sigma^3,\\
\sigma^2\sigma^3=-i\sigma^1,\\
\sigma^3\sigma^1=-i\sigma^2.
\end{aligned}
\]

\[
g=\begin{pmatrix}
a^2-b^2-c^2+d^2 & -2(ab+cd) & -2(ac-bd)\\
2(ab-cd) & a^2-b^2+c^2-d^2 & -2(ad+bc)\\
2(ac+bd) & 2(ad-bc) & a^2+b^2-c^2-d^2
\end{pmatrix}.
\]

设 $A=(a_{ij})_n\in\mathbb{C}^{n\times n}$, 若

\[ |a_{ii}|\geqslant\sum_{j\neq i}|a_{ij}|,\quad\forall\ i=1,2,\ldots,n. \] 则称 $A$ 是(行)对角占优矩阵. 若不等式是严格的, 则称严格(行)对角占优矩阵或强对角矩阵. 若
\[ |a_{ii}|\geqslant\sum_{j\neq i}|a_{ji}|,\quad\forall\ i=1,2,\ldots,n. \] 则称 $A$ 是列对角占优矩阵.

若某一行(列)满足上面的不等式, 则称该行(列)为对角占优行(列).

Lem.(Levy-Desplanques) 设 $n$ 阶复方阵 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 满足 $|a_{ii}|>\sum_{j\neq i, j=1}^{n}|a_{ij}|$, $i=1,2,\ldots, n$, 则 $A$ 必定可逆.

Cor. 设 $n$ 阶实方阵 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 满足 $a_{ii}>\sum_{j\neq i, j=1}^{n}|a_{ij}|$, $i=1,2,\ldots, n$, 则 $|A|>0$ .

田素霞专门写了一本关于对角占优矩阵的书, 书名即为《对角占优矩阵》, 可以作为参考.