Questions in category: 线性代数 (Linear Algebra)
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21. 若 $a^2+b^2+c^2+d^2=1$, 证明下面的矩阵属于 $SO(3)$.

Posted by haifeng on 2012-07-19 16:43:00 last update 2012-07-19 16:43:00 | Answers (1) | 收藏


\[
g=\begin{pmatrix}
a^2-b^2-c^2+d^2 & -2(ab+cd) & -2(ac-bd)\\
2(ab-cd) & a^2-b^2+c^2-d^2 & -2(ad+bc)\\
2(ac+bd) & 2(ad-bc) & a^2+b^2-c^2-d^2
\end{pmatrix}.
\]

22. 对角占优矩阵

Posted by haifeng on 2011-06-19 08:39:29 last update 2013-12-08 22:21:29 | Answers (1) | 收藏


设 $A=(a_{ij})_n\in\mathbb{C}^{n\times n}$, 若

\[ |a_{ii}|\geqslant\sum_{j\neq i}|a_{ij}|,\quad\forall\ i=1,2,\ldots,n. \] 则称 $A$ 是(行)对角占优矩阵. 若不等式是严格的, 则称严格(行)对角占优矩阵强对角矩阵. 若
\[ |a_{ii}|\geqslant\sum_{j\neq i}|a_{ji}|,\quad\forall\ i=1,2,\ldots,n. \] 则称 $A$ 是列对角占优矩阵.

若某一行(列)满足上面的不等式, 则称该行(列)为对角占优行(列).

Lem. 设 $n$ 阶复方阵 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 满足 $|a_{ii}|>\sum_{j\neq i, j=1}^{n}|a_{ij}|$, $i=1,2,\ldots, n$, 则 $A$ 必定可逆.

Cor. 设 $n$ 阶实方阵 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 满足 $a_{ii}>\sum_{j\neq i, j=1}^{n}|a_{ij}|$, $i=1,2,\ldots, n$, 则 $|A|>0$ .


田素霞专门写了一本关于对角占优矩阵的书, 书名即为《对角占优矩阵》, 可以作为参考.

23. 证明奇数阶反对称方阵的行列式恒为零; 偶数阶反对称方阵的行列式是一个完全平方数.

Posted by haifeng on 2011-05-24 21:04:17 last update 2015-08-15 14:09:10 | Answers (0) | 收藏


反对称方阵亦称斜对称方阵. (Burnside)

 

注意 若 $A$ 是反对称矩阵, 则 $[Pf(A)]^2=\det(A)$.

这里 $Pf(A)$ 指 Pfaffian 矩阵, 定义为

\[
Pf(A)=\frac{1}{2^p p!}\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{\sigma}\cdot a_{\sigma(1)\sigma(2)}\cdot a_{\sigma(3)\sigma(4)}\cdots a_{\sigma(n-1)\sigma(n)}.
\]

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