设正整数 $m,n\geqslant 2$, $a,b$ 是实数. 设 $A=\begin{bmatrix}J & \\ & K\end{bmatrix}$ 是 $m+n$ 阶实方阵, 其中 $J$ 为 $m$ 阶方阵, $K$ 为 $n$ 阶方阵:

\[
J=\begin{bmatrix}
a & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
1 & a & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 1 & a & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & a & 0\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & a\\
\end{bmatrix},\quad K=\begin{bmatrix}
b & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
1 & b & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 1 & b & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & b & 0\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & b\\
\end{bmatrix}.
\]

求线性空间 $\{X\in M_{m+n}(\mathbb{R})\mid AX=XA\}$ 的维数.

注:  此题为2023年10月一试清华新领军第5题.

谢启鸿高等代数官方博客

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设 $A$ 是 $n$ 阶实的对角阵, 其对角线由 $p$ 个 $1$, $q$ 个 $-1$ 和 $r$ 个 $0$ 组成, 其中 $p+q+r=n$. $M$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的线性子空间, 满足对任意 $x\in M$, 均有 $x^T Ax=0$, 求 $\dim M$ 的最大值.

注: 此题为2022年9月一试清华新领军第3题.

设 $M_2$ 是全体2x2复矩阵构成的集合, 映射 $f:M_2\rightarrow M_2$ 满足

\[f(A)=2A^3-9A^2+12A-2I,\]

其中 $I$ 是 2 阶单位矩阵, 问: $f$ 是否为满射?

求矩阵 $A$ 的QR分解.

\[
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2\\
2 & 1 & 2\\
1 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\]

矩阵的QR分解

定理.  任意一个 $n$ 阶可逆实方阵 $A$ 均可表为一个实正交方阵 $O$ 和一个对角元全为正数的上三角方阵 $R$ 的乘积, 即 $A=OR$. 而且这种表法惟一.

QR分解中的Q实际上应该是指O, QR分解也可称为正交上三角分解.

参考 [1] P.439.

References

[1] 李炯生、查建国 编著 《线性代数》.  中国科学技术大学出版社.

定理[Levy-Desplanques]. 设 $n$ 阶复方阵 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 是行或列主角占优方阵, 则 $\det A\neq 0$.

行主角占优（或行对角占优）是指 $A$ 满足 $|a_{ii}|>\sum_{j\neq i, j=1}^{n}|a_{ij}|$, $i=1,2,\ldots, n$.

见问题146

Gersgörin圆盘定理

定理[Gersgörin圆盘定理] 任意 $n$ 阶复方阵 $A=(a_{ij})$ 的特征值一定落在复平面上 $n$ 个圆盘 $D_i$ ($i=1,2,\ldots,n$) 的并集内, 这里

\[D_i=\{z\in\mathbb{C} : |z-a_{ii}|\leqslant P_i\},\]

其中 $P_i=R_i-|a_{ii}|$, $R_i=\sum\limits_{j=1}^{n}|a_{ij}|$.

证明:  利用 Levy-Desplanques 定理.

参见 [1] P.342.

References:

[1]  李炯生、查建国 编著 《线性代数》.

(1)  $\vec{\alpha}_1=(1,2,-1)$,   $\vec{\alpha}_2=(4,-1,3)$,   $\vec{\alpha}_3=(6,3,1)$.

(2)   $\vec{\alpha}_1=(2,0,1)$,   $\vec{\alpha}_2=(1,3,5)$,   $\vec{\alpha}_3=(4,6,3)$. 

(3)

\[
\vec{\alpha}_1=\begin{pmatrix}
2\\
-1\\
0\\
5
\end{pmatrix},\quad
\vec{\alpha}_1=\begin{pmatrix}
-4\\
-2\\
3\\
0
\end{pmatrix},\quad
\vec{\alpha}_1=\begin{pmatrix}
-1\\
0\\
1\\
k
\end{pmatrix},\quad
\vec{\alpha}_1=\begin{pmatrix}
-1\\
0\\
2\\
1
\end{pmatrix}
\]

(4)

\[
\vec{\alpha}_1=\begin{pmatrix}
1\\
1\\
-1\\
2
\end{pmatrix},\quad
\vec{\alpha}_1=\begin{pmatrix}
0\\
1\\
1\\
-1
\end{pmatrix},\quad
\vec{\alpha}_1=\begin{pmatrix}
1\\
0\\
-2\\
3
\end{pmatrix}
\]

题目来自 [1] pp.116.

[1] 陈建华  主编  《线性代数》

 求正交变换 $X=QY$, 将二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1 x_2+2x_1 x_3+2x_2 x_3$ 化为标准型.