问题及解答

(1)  $\vec{\alpha}_1=(1,2,-1)$,   $\vec{\alpha}_2=(4,-1,3)$,   $\vec{\alpha}_3=(6,3,1)$.

 

 

(2)   $\vec{\alpha}_1=(2,0,1)$,   $\vec{\alpha}_2=(1,3,5)$,   $\vec{\alpha}_3=(4,6,3)$. 

 

 

 

(3)

\[
\vec{\alpha}_1=\begin{pmatrix}
2\\
-1\\
0\\
5
\end{pmatrix},\quad
\vec{\alpha}_1=\begin{pmatrix}
-4\\
-2\\
3\\
0
\end{pmatrix},\quad
\vec{\alpha}_1=\begin{pmatrix}
-1\\
0\\
1\\
k
\end{pmatrix},\quad
\vec{\alpha}_1=\begin{pmatrix}
-1\\
0\\
2\\
1
\end{pmatrix}
\]

 

 

 

(4)

\[
\vec{\alpha}_1=\begin{pmatrix}
1\\
1\\
-1\\
2
\end{pmatrix},\quad
\vec{\alpha}_1=\begin{pmatrix}
0\\
1\\
1\\
-1
\end{pmatrix},\quad
\vec{\alpha}_1=\begin{pmatrix}
1\\
0\\
-2\\
3
\end{pmatrix}
\]

 

 

 

题目来自 [1] pp.116.

---

[1] 陈建华  主编  《线性代数》

(1)

>> A=[1 2 -1;
A=[1 2 -1;
4 -1 3;
6 3 1]
A=[1 2 -1;
input> [1,2,-1;4,-1,3;6,3,1]
--------------------

1       2       -1
4       -1      3
6       3       1

--------------------
>> rank(A)
2
>> rank(A,col)
c2+c1*(-2) ==>

1       0       -1
4       -9      3
6       -9      1

------------
c3+c1*1 ==>

1       0       0
4       -9      7
6       -9      7

------------
c2*(-1|9) ==>

1       0       0
4       1       7
6       1       7

------------
c3+c2*(-7) ==>

1       0       0
4       1       0
6       1       0

------------

The linearly independent row vectors are:
r1,r2.
2

---

 

(2)

>> B=[2 0 1;
B=[2 0 1;
1 3 5;
4 6 3]
B=[2 0 1;
input> [2,0,1;1,3,5;4,6,3]
--------------------

2       0       1
1       3       5
4       6       3

--------------------
>> rank(B)
3
>> det(B)
-48
>> rank(B,col)
c1*1|2 ==>

1       0       1
1|2     3       5
2       6       3

------------
c3+c1*(-1) ==>

1       0       0
1|2     3       9|2
2       6       1

------------
c2*1|3 ==>

1       0       0
1|2     1       9|2
2       2       1

------------
c3+c2*(-9|2) ==>

1       0       0
1|2     1       0
2       2       -8

------------
c3*(-1|8) ==>

1       0       0
1|2     1       0
2       2       1

------------

The linearly independent row vectors are:
r1,r2,r3.
3

 

---

(3)

>> A=[2 -4 -1 -1;
A=[2 -4 -1 -1;
-1 -2 0 0;
0 3 1 2;
5 0 k 1]
A=[2 -4 -1 -1;
input> [2,-4,-1,-1;-1,-2,0,0;0,3,1,2;5,0,k,1]
--------------------

2       -4      -1      -1
-1      -2      0       0
0       3       1       2
5       0       k       1

--------------------
>> rank(A,row)
r1*1|2 ==>

1       -4|2    -1|2    -1|2
-1      -2      0       0
0       3       1       2
5       0       k       1

------------
r2+r1*1 ==>

1       -4|2    -1|2    -1|2
0       -4      -1|2    -1|2
0       3       1       2
5       0       k       1

------------
r4+r1*(-5) ==>

1       -4|2    -1|2    -1|2
0       -4      -1|2    -1|2
0       3       1       2
0       10      (2*k+5)|2       7|2

------------
r2*(-1|4) ==>

1       -4|2    -1|2    -1|2
0       1       1|8     1|8
0       3       1       2
0       10      (2*k+5)|2       7|2

------------
r3+r2*(-3) ==>

1       -4|2    -1|2    -1|2
0       1       1|8     1|8
0       0       5|8     13|8
0       10      (2*k+5)|2       7|2

------------
r4+r2*(-10) ==>

1       -4|2    -1|2    -1|2
0       1       1|8     1|8
0       0       5|8     13|8
0       0       (8*2*k+40-20)|16        9|4

------------
r3*8|5 ==>

1       -4|2    -1|2    -1|2
0       1       1|8     1|8
0       0       1       13|5
0       0       (8*2*k+40-20)|16        9|4

------------
r4+r3*(-(8*2*k+40-20)|16) ==>

1       -4|2    -1|2    -1|2
0       1       1|8     1|8
0       0       1       13|5
0       0       (16*16*k+320-16*(16*k+40-20))|256       (720-4*13*(16*k+40-20))|320

//事实上, 这里  (16*16*k+320-16*(16*k+40-20))|256 恒等于0, 应该化简.

------------
r4*320|(720-4*13*(16*k+40-20)) ==>

1       -4|2    -1|2    -1|2
0       1       1|8     1|8
0       0       1       13|5
0|(720-(52*(16*k+40-20)))       0|(720-(52*(16*k+40-20)))       320*(256*k+320-(16*(16*k+40-20)))|256*(720-(52*(16*k+40-20)))        320*(720-(52*(16*k+40-20)))|320*(720-(52*(16*k+40-20)))

------------

The linearly independent column vectors are:
c1,c2,c3,c4.
4
>>