问题

设 $A=(a_{ij})_n\in\mathbb{C}^{n\times n}$, 若

\[ |a_{ii}|\geqslant\sum_{j\neq i}|a_{ij}|,\quad\forall\ i=1,2,\ldots,n. \] 则称 $A$ 是(行)对角占优矩阵. 若不等式是严格的, 则称严格(行)对角占优矩阵或强对角矩阵. 若
\[ |a_{ii}|\geqslant\sum_{j\neq i}|a_{ji}|,\quad\forall\ i=1,2,\ldots,n. \] 则称 $A$ 是列对角占优矩阵.

若某一行(列)满足上面的不等式, 则称该行(列)为对角占优行(列).

Lem. 设 $n$ 阶复方阵 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 满足 $|a_{ii}|>\sum_{j\neq i, j=1}^{n}|a_{ij}|$, $i=1,2,\ldots, n$, 则 $A$ 必定可逆.

Cor. 设 $n$ 阶实方阵 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 满足 $a_{ii}>\sum_{j\neq i, j=1}^{n}|a_{ij}|$, $i=1,2,\ldots, n$, 则 $|A|>0$ .

田素霞专门写了一本关于对角占优矩阵的书, 书名即为《对角占优矩阵》, 可以作为参考.