问题

设 $A=(a_{ij}{)}_n\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$, 若

$$|a_{ii}|⩾\sum _{j\ne i}|a_{ij}|,\mathrm{\forall }i=1,2,\dots ,n.$$ 则称 $A$ 是(行)对角占优矩阵. 若不等式是严格的, 则称严格(行)对角占优矩阵或强对角矩阵. 若
$$|a_{ii}|⩾\sum _{j\ne i}|a_{ji}|,\mathrm{\forall }i=1,2,\dots ,n.$$ 则称 $A$ 是列对角占优矩阵.

若某一行(列)满足上面的不等式, 则称该行(列)为对角占优行(列).

Lem.(Levy-Desplanques) 设 $n$ 阶复方阵 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 满足 $|a_{ii}|>\sum _{j\ne i,j=1}^n|a_{ij}|$, $i=1,2,\dots ,n$, 则 $A$ 必定可逆.

Cor. 设 $n$ 阶实方阵 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 满足 $a_{ii}>\sum _{j\ne i,j=1}^n|a_{ij}|$, $i=1,2,\dots ,n$, 则 $|A|>0$ .

田素霞专门写了一本关于对角占优矩阵的书, 书名即为《对角占优矩阵》, 可以作为参考.