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问题及解答

设 $A$ 是 $n$ 阶实方阵, 证明 $r(A^n)=r(A^{n+1})=r(A^{n+2})$.

Posted by haifeng on 2014-02-13 09:05:47 last update 2014-02-13 09:05:47 | Edit | Answers (1)

设 $A$ 是 $n$ 阶实方阵, 证明 $r(A^n)=r(A^{n+1})=r(A^{n+2})$.

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Posted by haifeng on 2014-02-13 09:54:51

根据 $r(AB)\leqslant\min\{r(A),r(B)\}$, 显然有 $r(A^{n+2})\leqslant r(A^{n+1})\leqslant r(A)$.

如果 $A$ 可逆, 则 $A^{n},A^{n+1},A^{n+2}$ 均可逆, 从而它们的秩都等于 $n$.

现在假设 $A$ 不可逆, 即 $|A|=0$.

考虑 $A^n\vec{x}=0$ 和 $A^{n+1}\vec{x}=0$ 的解空间, 分别记为 $N^0(A^n)$ 和 $N^0(A^{n+1})$.

显然有 $N^0(A^n)\subset N^0(A^{n+1})$. 下面证明 $N^0(A^{n+1})\subset N^0(A^n)$.

设 $\vec{0}\neq\vec{x}_0\in N^0(A^{n+1})$, 即 $A(A^n\vec{x}_0)=\vec{0}$. 若 $\vec{x}_0\not\in N^0(A^n)$, 即 $A^n\vec{x}_0\neq\vec{0}$, 故 $A\vec{x}=\vec{0}$ 有非零解 $A^n\vec{x}_0$.

从而 $A^k\vec{x}_0\neq\vec{0}$, $\forall\ k=1,2,\ldots,n$.

于是 $A^{n+1}\vec{x}=\vec{0}$ 有非零解: $\vec{x}_0,A\vec{x}_0,A^2\vec{x}_0,\ldots,A^n\vec{x}_0$.  我们证明这 $n+1$ 个非零解是线性无关的, 从而得出矛盾.

假设

\[k_0\vec{x}_0+k_1A\vec{x}_0+k_2A^2\vec{x}_0+\ldots+k_nA^n\vec{x}_0=\vec{0},\]

则两边作用 $A^n$, 得

\[k_0A^n\vec{x}_0+k_1A^{n+1}\vec{x}_0+k_2A^{n+2}\vec{x}_0+\ldots+k_nA^{2n}\vec{x}_0=\vec{0},\]

由于 $A^{n+1}\vec{x}_0=\vec{0}$, 故得 $k_0A^n\vec{x}_0=\vec{0}$, 又由于 $A^n\vec{x}_0\neq\vec{0}$, 因此 $k_0=0$. 于是

\[k_1A\vec{x}_0+k_2A^2\vec{x}_0+\ldots+k_nA^n\vec{x}_0=\vec{0}.\]

同样的, 两边作用 $A^{n-1}$, 可推出 $k_1=0$. 以此类推, 知 $k_0=k_1=k_2=\cdots=k_n=0$. 因此这 $n+1$ 个非零解是线性无关的, 但是 $A^{n+1}\vec{x}=\vec{0}$ 是 $n$ 元线性方程组, 矛盾.

同理可证明 $N^0(A^{n+2})\subset N^0(A^n)$. 事实上有 $r(A^{n+k})=r(A^n)$, $\forall\ k=1,2,\ldots$.