问题及解答

\[
g=\begin{pmatrix}
a^2-b^2-c^2+d^2 & -2(ab+cd) & -2(ac-bd)\\
2(ab-cd) & a^2-b^2+c^2-d^2 & -2(ad+bc)\\
2(ac+bd) & 2(ad-bc) & a^2+b^2-c^2-d^2
\end{pmatrix}.
\]

记 $g$ 的三个列向量分别为 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.

\[
\begin{split}
|\alpha|^2&=(a^2-b^2-c^2+d^2)^2+4(ab-cd)^2+4(ac+bd)^2\\
&=a^4+b^4+c^4+d^4-2a^2b^2-2a^2c^2+2a^2d^2+2b^2c^2-2b^2d^2-2c^2d^2\\
&\quad+4(a^2b^2-2abcd+c^2d^2)+4(a^2c^2+2abcd+b^2d^2)\\
&=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2\\
&=1
\end{split}
\]