证明 $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\langle\vec{a},\vec{c}\rangle\vec{b}-\langle\vec{a},\vec{b}\rangle\vec{c}$
设 $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的三个向量, 证明:
\[
\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\langle\vec{a},\vec{c}\rangle\vec{b}-\langle\vec{a},\vec{b}\rangle\vec{c}
\]
并有下面的推论
Cor1. 对3维欧氏空间中任意向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$, 有
\[
|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2=|\vec{a}|^2\langle\vec{b},\vec{c}\rangle^2+|\vec{b}|^2\langle\vec{c},\vec{a}\rangle^2+|\vec{c}|^2\langle\vec{a},\vec{b}\rangle^2-2\langle\vec{a},\vec{b}\rangle\langle\vec{b},\vec{c}\rangle\langle\vec{c},\vec{a}\rangle+[\det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})]^2
\]
该推论有明显的几何意义, 若设 $\alpha=\angle(\vec{a},\vec{b})$, $\beta=\angle(\vec{b},\vec{c})$, $\gamma=\angle(\vec{c},\vec{a})$, 则由上面的推论得
\[
|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2=|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2(\cos^2\beta+\cos^2\gamma+\cos^2\alpha)-2|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma+[\det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})]^2.
\]
若 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 模长均为 1, 则有
Cor2.
\[
1=\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma+[\det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})]^2
\]
当然, 特别的有
Cor3. 若 $\alpha=\beta+\gamma$, 则显然由这三个向量构成的平行六面体的体积为零. 从而有
\[
1=\cos^2(\beta+\gamma)+\cos^2\beta+\cos^2\gamma-2\cos(\beta+\gamma)\cos\beta\cos\gamma
\]
当然这个恒等式可以直接验证.