问题

$$\frac{\pi }{2}=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}{]}^2\frac{1}{2n+1}$$

它可以改写为

$$\frac{\pi }{2}=\prod _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(\frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1})$$

或者

$$\frac{\pi }{4}=\prod _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{2n(2n+2)}{(2n+1{)}^2}$$

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}{]}^2\frac{1}{2n+1}=\frac{\pi }{2}=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}{]}^2\frac{1}{2n}$$

公式的获得来源于计算积分(问题43)

$$I_m={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{m}xdx,J_m={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{m}xdx,(m\in {\mathbb{Z}}^{+})$$

这两个积分的计算要使用递推公式.

References

梅加强, 数学分析, 高等教育出版社.

Remark

有时, Wallis 不等式(问题711)可能更有用.

Ex. 由 Wallis 公式, 证明

$$\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}\sim \sqrt{\frac{2}{\pi }}\cdot \frac{4^n}{\sqrt{2n+1}}.$$