求极限

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}(\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots+\frac{n}{2^n})
\]

求极限

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\int_0^x \sin\frac{1}{t}dt}{x}
\]

求极限

\[
\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x^x-(\sin x)^x}{x-\sin x}
\]

设 $f(x)$ 是定义在 $a$ 点某开邻域 $U$ 上的实值函数, 且 $f$ 在点 $a$ 处可微. 证明: 如果 $U$ 中的两个点列, $x_n$ 递增趋于 $a$, $y_n$ 递减趋于 $a$, 则有

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f(y_n)-f(x_n)}{y_n-x_n}=f'(a).
\]

应用此结论, 求解极限

\[
\lim_{x\rightarrow\infty}x^4\Bigl(\arctan(2+\frac{3}{x^2+1})-\arctan(2+\frac{3}{x^2+2})\Bigr)
\]

References:

Paulo Ney de Souza, Jorge-Nuno Silva, Berkeley Problems in Mathematics, Third Edition.  Problem 1.4.21 (Sp91).

设 $x_1 > 0$, $x_{n+1}=\ln(x_n+1)$. 求

(1) $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n$;

(2) $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n\cdot x_{n+1}}{x_n-x_{n+1}}$.

求极限

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}{\ln n}
\]

求极限

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}
\]

[Hint] 用积分

或者求

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}
\]

如果不使用积分, 怎么算?

利用此极限, 求

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{(a+b)(2a+b)\cdots(na+b)}}{n},
\]

这里 $a,b$ 均为正数.

注:  对于 $\alpha > 0$,

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{(1+\alpha)(2+\alpha)\cdots(n+\alpha)}}{n}
\]

与

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}
\]

的结果是一样的.

求极限

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl[\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n^2+1)^{1/2}}+\cdots+\frac{1}{(n^n+1)^{1/n}}\biggr]
\]

[Hint] 使用夹逼准则.

求

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\biggl[\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2-4}+\cdots+\sqrt{n^2-(n-1)^2}\biggr]
\]

[Hint] 用积分

求极限

\[\lim_{n\rightarrow\infty}n^2(x^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n+1}}),\]

这里 $x > 0$.