问题

在求极限题目中, 无穷小在加减法时最好不要代换. 但有时也可以.

Prop. 设有两对等价无穷小 $\alpha (x)\sim {\alpha }_1(x)$, $\beta (x)\sim {\beta }_1(x)$, 这里 $x\to x_0$. 并且 $\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 不是等价无穷小. 则有

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\alpha (x)-\beta (x)}{\gamma (x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{{\alpha }_1(x)-{\beta }_1(x)}{\gamma (x)}$$

也就是说, 此时无穷小代换是可以的.