问题

在求极限题目中, 无穷小在加减法时最好不要代换. 但有时也可以.

Prop. 设有两对等价无穷小 $\alpha(x)\sim\alpha_1(x)$, $\beta(x)\sim\beta_1(x)$, 这里 $x\rightarrow x_0$. 并且 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 不是等价无穷小. 则有

\[
\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\alpha(x)-\beta(x)}{\gamma(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\alpha_1(x)-\beta_1(x)}{\gamma(x)}
\]

也就是说, 此时无穷小代换是可以的.