问题及解答

P.25 习题1.3

1. 设 $f(x)=\begin{cases}e^x,\ x\leqslant 0,\\ \frac{1}{x},\ x > 0,\end{cases}$ 求 $\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f(x)$ 及 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)$，并说明 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)$ 是否存在.

2. 设 $f(x)=\frac{|x|}{x}$, 证明: $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)$ 不存在.

3. 设 $f(x)=\begin{cases}x^2,\ -1 < x < 0,\\ 1,\ x = 0,\\ 2x,\ 0 < x\leqslant 1,\end{cases}$ 求:

(1) $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)$;              (2)  $\lim\limits_{x\rightarrow -1^+}f(x)$         (3)  $\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}f(x)$.

1. 

$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}e^x=0$,

$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x}=0$.

因此 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}$ 存在且等于0.

2.

$f(x)=\frac{|x|}{x}=\begin{cases}1,\ x > 0,\\ -1,\ x < 0,\end{cases}$.

$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}\frac{-x}{x}=-1$,

$\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{x}{x}=+1$,

因此 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)$ 不存在.

3.

(1) $\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}x^2=0$, 

$\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}2x=0$, 

因此 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=0$.

(2) $\lim\limits_{x\rightarrow -1^+}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow -1^+}x^2=1$.

(3) $\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}2x=2$.