求极限

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2},
\]

这里 $m,n$ 是正整数.

求极限 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}(\sin\sqrt{x+1}-\sin\sqrt{x})$.

求极限

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin\sqrt{\frac{k}{n}}.\]

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl(\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{n+1}+\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\sin\pi}{n+\frac{1}{n}}\biggr).
\]

求极限

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl(\frac{1}{n^3+1}+\frac{4}{n^3+2}+\cdots+\frac{n^2}{n^3+n}\biggr)
\]

设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=A$, $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n=B$, 则
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}(a_1 b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_n b_1)=AB.
\]

例如

1.

\[\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n})=\ln 2\]

2.

\[\lim_{n\rightarrow\infty}[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots +(-1)^{n-1}\frac{1}{n}]=\ln 2\]

3. [Leo Moser] 设 $f(n)$ 为 $n$ 表示成一个或多个相连素数之和的表示方法数, 则有

\[
\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}f(n)=\ln 2
\]

4.

\[\log(2)=\sqrt{2}\biggl(\frac{1}{2}-\sum_{k\geqslant 1}\frac{1}{(4k^2-1)(17+12\sqrt{2})^k}\biggr)\]

设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=A$, 则
\[
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=A.
\]

也就是说, 如果一个数列收敛到 $A$, 则这个数列的前 $n$ 项的平均值也收敛到 $A$.

但是, 逆命题不成立. 例如 $\{a_n=(-1)^n\}$.

应用.

例. 求极限

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n})\]

这显然等于 0. 与之相关的一个极限是

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\ln n}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n})\]

参见问题1933

$\lim_{u\rightarrow 0^+}\ln(1-u)\ln u=?$

首先不妨先做个观察, 令 $t=\frac{1}{u}$, $t\rightarrow +\infty$, 从而

\[
\ln(1-u)\ln u=\ln(1-\frac{1}{t})\ln\frac{1}{t}=-\ln(1-\frac{1}{t})\ln t < -\ln(1-\frac{1}{t})\cdot t=\ln(1+\frac{1}{-t})^{-t}
\]

而

\[
\lim_{t\rightarrow +\infty}\ln(1+\frac{1}{-t})^{-t}=1
\]

于是, 当 $t\rightarrow +\infty$ 时,

\[
-\ln(1-\frac{1}{t})\ln t=-\ln(1-\frac{1}{t})\cdot t\cdot \frac{\ln t}{t}\rightarrow 0.
\]

推论: $\lim_{u\rightarrow 1^-}\ln(1-u)\ln u=0$.

求

\[\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\]

Remark

实际上, 有更详细的 Wallis 公式 (见问题702)

\[\frac{\pi}{2}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\biggl[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\biggr]^2\frac{1}{2n+1}\]