问题及解答

设

\[\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^3+ax^2+bx+2}{x-1}=3,\]

求 $a,b$ 的值.

类似的问题

设

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ax-\sin x}{\int_b^x\ln(1+t^2)dt}=c,
\]

求 $a,b,c$ 的值.

分母趋于零, 而极限存在, 故分子亦趋于零. 即得 $1+a+b+2=0$.

现在极限是 $\frac{0}{0}$ 型, 故可用洛必达法则, 得

\[
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3x^2+2ax+b}{1}=3,
\]

这推出 $2a+b=0$.

因此, 解得 $a=3$, $b=-6$.

(2)

由于该极限存在, 且分子趋于零(当 $x\rightarrow 0$ 时), 因此分母应趋于零, 故 $b=0$.

从而原式为

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ax-\sin x}{\int_0^x\ln(1+t^2)dt}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a-\cos x}{\ln(1+x^2)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a-\cos x}{x^2},
\]

同样, 由于此极限存在, 故分子 $a-\cos x$ 应趋于零(当 $x\rightarrow 0$ 时), 从而 $a=1$. 于是原式为

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{2x}=\frac{1}{2}.
\]