问题及解答

设 $a_n>0$, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 收敛, 并且 $n{a}_n$ 单调. 证明:

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}n{a}_n\ln n=0.$$

首先证明: $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}n{a}_n=0$.

事实上, 存在某个数 $A>0$ 及 $N>0$, 当 $n>N$ 时, 有

$$a_n<\frac{1}{n}\cdot A.$$

否则, 存在子列 $\{a_{n_k}\}$, 使得 $a_{n_k}⩾\frac{A}{n_k}$, 这导致 $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n_k}=+\mathrm{\infty }$, 与 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 收敛矛盾.

于是 $\{\frac{a_n}{1/n}\}$ 有界. 又由题设 $n{a}_n$ 单调, 因此 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}n{a}_n$ 存在. 易见这个极限为零.

下面考虑

$$\frac{a_n}{\frac{1}{n\ln n}}$$

同理可证 $\frac{a_n}{\frac{1}{n\ln n}}$ 有界. 如果极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{\frac{1}{n\ln n}}$ 不存在, 则存在子列 $a_{n_k}{n}_k\ln n_k$ 收敛于某个大于零的数 $a>0$, 即

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_{n_k}{n}_k\ln n_k=a>0.$$

但是这将推出 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n_k}=+\mathrm{\infty }$, 矛盾. 因此 $a_{n}n\ln n$ 的任何子列都收敛于零. 即证明了

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{a}_n\ln n=0.$$