设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=A$, $k$ 为正整数, 则

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{k+1}}(a_1+2^k a_2+\cdots+n^k a_n)=\frac{A}{k+1}.
\]

[Hint]

利用 Stolz 公式, 以及问题2595 .

References:

梅加强, 《数学分析》习题

判断函数 $f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n\arctan(nx)}{\sqrt{n^2+n}}$ 是否连续. 若不连续, 指出间断点及其类型.

3. 设当 $x\rightarrow 0$ 时, $\sec x-\cos x$ 与 $\sqrt{a+x^n}-\sqrt{a}$ 是等价无穷小, 求常数 $a$ 与 $n$.

6. 利用等价无穷小代换法求下列极限:

(4)  $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x\ln(1-2x)}{1-\sec x}$

(5)  $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x-\tan x}{x\ln(1+x^2)}$

(7)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x\ln\frac{x+1}{x}$

(8)  $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{e^{x^2}-1}$  

P. 44--45

4. 求下列极限

(4) $\lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{2x-\pi}$

(5) $\lim\limits_{x\rightarrow\pi}\dfrac{\sin x}{x-\pi}$

(7) $\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}\dfrac{x}{\sqrt{1-\cos x}}$

5. 求下列极限

(4)  $\lim\limits_{x\rightarrow 1}(3-2x)^{\frac{3}{x-1}}$

(6)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\Bigl(\frac{x+2}{x-2}\Bigr)^x$

(8)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\biggl(\frac{n^2+3}{n^2+1}\biggr)^{n^2}$

P. 37

1. 求下列极限

(4)  $\lim\limits_{x\rightarrow 4}\dfrac{x^2-6x+8}{x^2-3x-4}$

(6)  $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\Bigl(\dfrac{4}{x^2-4}-\dfrac{1}{x-2}\Bigr)$

(8)  $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{(n+2)(2n+3)(3n+4)}{n^3}$

(11)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x+\sin x}{x-\sin x}$

4. 设 $f(x)=\dfrac{4x^2+3}{x-1}+ax+b$, 若已知:

(1) $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)=0$;     (2)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)=2$;       (3)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty$,

试分别求这三种情形下常数 $a$ 与 $b$ 的值.

5. 已知 $\lim\limits_{x\rightarrow 3}\dfrac{x^2-2x+k}{x-3}$ 存在且等于 $a$, 求常数 $k$ 与 $a$ 的值.

在求极限题目中, 无穷小在加减法时最好不要代换. 但有时也可以.

Prop. 设有两对等价无穷小 $\alpha(x)\sim\alpha_1(x)$, $\beta(x)\sim\beta_1(x)$, 这里 $x\rightarrow x_0$. 并且 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 不是等价无穷小. 则有

\[
\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\alpha(x)-\beta(x)}{\gamma(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\alpha_1(x)-\beta_1(x)}{\gamma(x)}
\]

也就是说, 此时无穷小代换是可以的. 

证明: $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\arcsin x=0$.

请用极限的定义证.

与 $\arcsin x$ 相关的问题:

http://www.atzjg.net/admin/do/view_question.php?qid=2047

P.25 习题1.3

1. 设 $f(x)=\begin{cases}e^x,\ x\leqslant 0,\\ \frac{1}{x},\ x > 0,\end{cases}$ 求 $\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f(x)$ 及 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)$，并说明 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)$ 是否存在.

2. 设 $f(x)=\frac{|x|}{x}$, 证明: $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)$ 不存在.

3. 设 $f(x)=\begin{cases}x^2,\ -1 < x < 0,\\ 1,\ x = 0,\\ 2x,\ 0 < x\leqslant 1,\end{cases}$ 求:

(1) $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)$;              (2)  $\lim\limits_{x\rightarrow -1^+}f(x)$         (3)  $\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}f(x)$.

证明: $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n$ 极限存在. 这里 $n\in\mathbb{Z}$.

记此极限为 $e$. 即

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e
\]

一般的, 对于实数 $x$, 也有

\[
\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e
\]

$f(x)=(1+\frac{1}{x})^x$ 这个函数, 如果视之为实函数, 则其定义域为 $(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)$. 对于 $[-1,0]$ 中几乎所有的 $x$, $f(x)$ 都是(非实数的)复数. 不过可以证明下面两个结果.

\[
\lim_{x\rightarrow 0^+}(1+\frac{1}{x})^x=1.
\]

\[
\lim_{x\rightarrow -1^{-}}(1+\frac{1}{x})^x=+\infty.
\]

设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=+\infty$, 证明

\[\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=+\infty.\]

类似的问题, 见问题1182