问题及解答

已知当 $x\rightarrow 0^+$ 时,

\[\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}\sim\sqrt[\beta]{x},\]

求 $\beta$.

由条件,

\[
\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt[\beta]{x}}=1.
\]

将极限式中分子分母同除以 $\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}=x^{\frac{1}{8}}$, 

\[
\begin{split}
1&=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\sqrt{\frac{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{\sqrt{x}}}}}{x^{\frac{1}{\beta}-\frac{1}{8}}}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\sqrt{x^{\frac{3}{4}}+\sqrt{\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}}}{x^{\frac{1}{\beta}-\frac{1}{8}}}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\sqrt{x^{\frac{3}{4}}+\sqrt{x^{\frac{1}{2}}+1}}}{x^{\frac{1}{\beta}-\frac{1}{8}}}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{x^{\frac{1}{\beta}-\frac{1}{8}}},
\end{split}
\]

这推出 $\beta=8$.