问题及解答

设 $a < b$, $x_0=a$, $x_1=b$, $x_n=\dfrac{x_{n-1}+x_{n-2}}{2}$, $(n=2,3,\ldots)$, 证明:

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=\frac{a+2b}{3}.
\]

首先列出前几项, 以观察规律. 为方便期间, 将 $a$ 对应为 $(1,0)$, $b$ 对应为 $(0,1)$.

\[
\begin{aligned}
x_0&=a\mapsto(1,0)\\
x_1&=b\mapsto(0,1)\\
x_2&=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b\mapsto(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\\
x_3&\mapsto(\frac{1}{4},\frac{3}{4})\\
x_4&\mapsto(\frac{3}{8},\frac{5}{8})\\
x_5&\mapsto(\frac{5}{16},\frac{11}{16})\\
x_6&\mapsto(\frac{11}{32},\frac{21}{32})\\
x_7&\mapsto(\frac{21}{64},\frac{43}{64})\\
x_8&\mapsto(\frac{43}{128},\frac{85}{128})\\
&\vdots
\end{aligned}
\]

下面记 $x_n=\alpha_n a+\beta_n b$, 即对应到 $(\alpha_n, \beta_n)$. 可猜测

\[
\alpha_n=\frac{t_{n-1}}{2^{n-1}},\quad\beta_n=\frac{t_n}{2^{n-1}},
\]

其中 $\{t_n\}$ 为数列: $1,1,3,5,11,21,43,85,\ldots$, 满足递推关系

\[t_n=2t_{n-2}+t_{n-1}.\]

用归纳法即可证明.

下面求出 $t_n$ 的通项表达式. 为此, 在上面递推关系两边同时加上 $\lambda t_{n-1}$, $\lambda\in\mathbb{R}$. 即

\[
t_n+\lambda t_{n-1}=2t_{n-2}+(1+\lambda)t_{n-1}
\]

令 $\lambda$ 满足

\[
\frac{\lambda}{1}=\frac{2}{1+\lambda},
\]

可求出 $\lambda=-2$ 或 $\lambda=1$. 我们取 $\lambda=1$, 得到

\[t_n+t_{n-1}=2(t_{n-1}+t_{n-2})\]

于是有

\[
\begin{aligned}
t_2+t_1&=2^1,\\
t_3+t_2&=2^2,\\
\vdots&\vdots\\
t_{n-1}+t_{n-2}&=2^{n-2}\\
t_{n}+t_{n-1}&=2^{n-1}
\end{aligned}
\]

注意 $t_1=1$, $t_2=1$. 将这 $n-1$ 个式子乘上系数(第 $k$ 个式子乘以 $(-1)^{k-1}$), 然后相加得

\[
\begin{split}
1+(-1)^{n-2}t_n&=2^1-2^2+2^3-2^4+\cdots+(-1)^{n-2}2^{n-1}\\
&=\frac{2(1-(-2)^{n-1})}{1-(-2)},
\end{split}
\]

化简得

\[
t_n=\frac{2^n-(-1)^n}{3}.
\]

于是

\[
\begin{aligned}
\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_n&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{t_{n-1}}{2^{n-1}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2^{n-1}-(-1)^{n-1}}{3\cdot 2^{n-1}}=\frac{1}{3},\\
\lim_{n\rightarrow\infty}\beta_n&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{t_{n}}{2^{n-1}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2^{n}-(-1)^{n}}{3\cdot 2^{n-1}}=\frac{2}{3}.
\end{aligned}
\]

即

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=\frac{a+2b}{3}.
\]