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Questions in category: 极限 (Limit)

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1. 如何证明 $lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ .

Posted by haifeng on 2025-03-23 18:20:52 last update 2025-03-24 12:29:40 | Answers (2) | 收藏

如何证明 $lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ .

问题的关键是证明:

$\sin x < x < \tan x, \forall x \in (0, \frac{π}{2}) .$

2. 设 $x_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} - 2 \sqrt{n}$ , 证明 $lim_{n \to \infty} x_{n}$ 存在.

Posted by haifeng on 2025-01-18 10:34:34 last update 2025-01-18 10:34:34 | Answers (1) | 收藏

设 $x_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} - 2 \sqrt{n}$ , 证明 $lim_{n \to \infty} x_{n}$ 存在.

3. 求极限 $lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{(1 + \frac{1}{x})^{x^{2}}}$ .

Posted by haifeng on 2025-01-17 23:17:27 last update 2025-01-17 23:17:27 | Answers (2) | 收藏

求极限 $lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{(1 + \frac{1}{x})^{x^{2}}} .$

4. 设 $a$ 是正实数. 递归定义序列 ${x_{n}}$ 为 $x_{n + 1} = \sqrt{a (a + 1) + x_{n}}$ , $x_{1} = \sqrt{a (a + 1)}$ . 证明 ${x_{n}}$ 收敛, 并求其极限.

Posted by haifeng on 2024-10-28 10:28:47 last update 2024-10-28 10:28:47 | Answers (3) | 收藏

设 $a$ 是正实数. 递归定义序列 ${x_{n}}$ 为 $x_{n + 1} = \sqrt{a (a + 1) + x_{n}}$ , $x_{1} = \sqrt{a (a + 1)}$ . 证明 ${x_{n}}$ 收敛, 并求其极限.

5. 若 $lim_{x \to 0} \frac{f (2 x)}{x} = 2$ , 则 $lim_{x \to \infty} x f (\frac{1}{2 x})$ 的值是多少?

Posted by haifeng on 2024-10-14 12:43:07 last update 2024-10-14 12:44:07 | Answers (2) | 收藏

若 $lim_{x \to 0} \frac{f (2 x)}{x} = 2$ , 则 $lim_{x \to \infty} x f (\frac{1}{2 x})$ 的值是多少?

6. 证明 $lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}} = 0$ .

Posted by haifeng on 2024-09-25 16:47:34 last update 2024-09-25 16:50:27 | Answers (0) | 收藏

证明

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}} = 0.$

Hint. 当 $n ⩾ 2$ 时,

$2^{n} = (1 + 1)^{n} > \frac{n (n - 1)}{2}$

7. 证明: $lim_{x \to + \infty} \frac{x}{e^{x}} = 0$ .

Posted by haifeng on 2024-09-25 10:15:09 last update 2024-09-25 10:15:09 | Answers (1) | 收藏

证明:

$lim_{x \to + \infty} \frac{x}{e^{x}} = 0.$

8. 设 $lim_{n \to \infty} (a_{n + 1} - a_{n}) = A$ , 则 $lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{n} = A$ .

Posted by haifeng on 2024-09-07 10:35:21 last update 2024-09-07 10:51:03 | Answers (1) | 收藏

设 $lim_{n \to \infty} (a_{n + 1} - a_{n}) = A$ , 则 $lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{n} = A$ .

[Hint] 看到 $a_{n + 1} - a_{n}$ 就要联想到 $\frac{a_{n + 1} - a_{n}}{(n + 1) - n}$ , 进而 Stolz 公式. 当然这里我们并不需要应用 Stolz 公式, 只需引理3344即可.

[Remark] 下面的证法不行.

由条件得 $\forall ε > 0$ , $\exists N$ , 当 $n > N$ 时, 总有

$A - ε < a_{n + 1} - a_{n} < A + ε .$

于是, 有

${\begin{cases} A - ε < & a_{n + 1} - a_{n} < A + ε, \\ A - ε < & a_{n + 2} - a_{n + 1} < A + ε, \\ ⋮ \\ A - ε < & a_{2 n} - a_{2 n - 1} < A + ε . \end{cases}$

相加得

$n (A - ε) < a_{2 n} - a_{n} < n (A + ε),$

从而推出

$A - ε < \frac{a_{2 n} - a_{n}}{n} < A + ε .$

但这无法证明 $lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{n} = A$ , 除非知道数列 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 是收敛的.

9. 证明 $lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$ .

Posted by haifeng on 2024-04-26 22:06:23 last update 2024-04-26 22:06:23 | Answers (1) | 收藏

证明 $lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$ .

10. 证明: 数列 ${a_{n}}$ 收敛当且仅当其奇子列和偶子列收敛于同一极限.

Posted by haifeng on 2023-12-17 23:38:13 last update 2023-12-17 23:41:15 | Answers (0) | 收藏

证明: 数列 ${a_{n}}$ 收敛当且仅当其奇子列和偶子列收敛于同一极限.

梅加强《数学分析》P.36, 习题17.

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1. 如何证明 limx→0sin⁡xx=1.

2. 设 xn=∑k=1n1k−2n, 证明 limn→∞xn 存在.

3. 求极限 limx→+∞ex(1+1x)x2.

4. 设 a 是正实数. 递归定义序列 {xn} 为 xn+1=a(a+1)+xn, x1=a(a+1). 证明 {xn} 收敛, 并求其极限.

5. 若 limx→0f(2x)x=2, 则 limx→∞xf(12x) 的值是多少?

6. 证明 limn→∞n2n=0.

7. 证明: limx→+∞xex=0.

8. 设 limn→∞(an+1−an)=A, 则 limn→∞ann=A.

9. 证明 limn→∞nn=1.

10. 证明: 数列 {an} 收敛当且仅当其奇子列和偶子列收敛于同一极限.