假设 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^x$ 存在, 记为 $e$. 问 $\dfrac{a^x-1}{x}$ 在 $x_0=0$ 处的极限是否存在, 如存在等于多少? 这里 $a\neq 1$.

设 $f(x)=o(1)$ $(x\rightarrow x_0)$, 证明当 $x\rightarrow x_0$ 时, 有如下等式:

(1)  $o(f(x))+o(f(x))=o(f(x))$;

(2)  $o(cf(x))=o(f(x))$, 其中 $c$ 为非零常数.

(3)  $g(x)\cdot o(f(x))=o(f(x)g(x))$, 其中 $g(x)$ 为有界函数;

(4)  $[o(f(x))]^k=o(f^{k}(x))$; 其中 $k$ 为正整数;

(5)  $\dfrac{1}{1+f(x)}=1-f(x)+o(f(x))$.

注:  $o(f(x))$ 是指比 $f(x)$ 高阶的无穷小量集合.

\[
o(f(x))=\left\{g(x)\ :\ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{g(x)}{f(x)}=0\right\}.
\]

黎曼函数指如下定义的函数

\[
R(x)=\begin{cases}
\frac{1}{q}, & \text{若}\ x\neq 0\ \text{且可表示为既约分数}\ \frac{p}{q}, \text{这里}\ q>0;\\
1, & x=0;\\
0, & \text{若}\ x\ \text{是无理数}.
\end{cases}
\]

求 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}R(x)$.

设 $a_n=\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n^3}$, 问 $\{a_n\}$ 是否收敛? 如收敛求出极限.

一般情形见问题3490.

Göbel 序列是如下递归定义的一个数列.  $a_1=1$, 

\[
a_{n+1}=\frac{1+a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{n}.
\]

可以手算前几项都是整数. 直到第44项不是整数,

\[a_{44}\approx 5.4093\cdot 10^{178485291567}\ .\]

参考 [1]

参考文献

[1]  https://oeis.org/A003504

求极限

\[
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h^2}\int_0^h \Bigl(\frac{1}{\theta}-\cot\theta\Bigr)\mathrm{d}\theta
\]

求极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}}$, 这里 $p > 0$.

[Ans]  $\frac{1}{p+1}$.

[hint]  使用 Stolz 定理或者将其看成黎曼和的极限(即表示为积分). Stolz 定理被称为离散的洛必达法则, 因为其结论大致说的是两个数列之比的极限等于它们差分之比的极限, 如果后者存在的话.

当 $p$ 不是正整数时, 使用广义二项式展开定理, 这涉及无穷级数. 因此若未学到无穷级数, 则先约束 $p$ 为正整数, 采用二项式展开定理.

求极限

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^{\alpha}-1}{x},\]

这里 $\alpha$ 是实数.

设 $a > 1$, 证明 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\log_a n}{n}=0$.

一般的, 设 $a > 1$, $t >0$, 则

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\log_a n}{n^t}=0.
\]

证明: $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1=o(1)$ $(x\rightarrow 0)$.