问题及解答

设 $a > 1$, 证明 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\log_a n}{n}=0$.

一般的, 设 $a > 1$, $t >0$, 则

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\log_a n}{n^t}=0.
\]

(1) 证明:  $\forall\ \varepsilon > 0$, 因为 $a > 1$, 故 $a^{\varepsilon} > 1$. 而 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}=1$, 故存在 $N$, 当 $n > N$ 时, 有

\[
\sqrt[n]{n} < a^{\varepsilon}.
\]

这等价于

\[
\begin{aligned}
&n < a^{n\varepsilon}\\
\Leftrightarrow\ &\log_a n < n\varepsilon\\
\Leftrightarrow\ & 0 < \frac{\log_a n}{n} < \varepsilon,
\end{aligned}
\]

因此, $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\log_a n}{n}=0$.

(2) 若 $t\geqslant 1$, 则

\[
\frac{\log_a n}{n^t}=\frac{\log_a n}{n}\cdot\frac{1}{n^{t-1}},
\]

根据 (1) 的结论, 以及 $\frac{1}{n^{t-1}}$ 有界, 可得 $\frac{\log_a n}{n^t}=0(1)$ $(n\rightarrow\infty)$.

下设 $0 < t < 1$,  任取 $\varepsilon > 0$, 由于 $a > 1$, 故 $a^{t\varepsilon} > 1$.

要使得

\[
\frac{\log_a n}{n^t} < \varepsilon
\]

成立, 则等价于

\[
\begin{aligned}
&\log_a n < \varepsilon n^t\\
\Leftrightarrow\quad & n < a^{\varepsilon n^t}\\
\Leftrightarrow\quad & n^t < a^{t\varepsilon n^t}\\
\Leftrightarrow\quad &  (n^t)^{\frac{1}{n^t}} < a^{t\varepsilon},
\end{aligned}
\]

而 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x^{\frac{1}{x}}=1$, 故存在 $N$, 当 $n > N$ 时,  

\[
 (n^t)^{\frac{1}{n^t}}< a^{t\varepsilon}. 
\]

因此, $\Bigl|\frac{\log_a n}{n^t}-0\Bigr|<\varepsilon$.  根据极限的定义, 知

\[
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\log_a n}{n^t}=0.
\]