设 $a_n>0$, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 收敛, 并且 $n{a}_n$ 单调. 证明:

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}n{a}_n\ln n=0.$$

求极限

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{(1+mx{)}^n-(1+nx{)}^m}{x^2},$$

这里 $m,n$ 是正整数.

求极限 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x})$.

求极限

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sin \sqrt{\frac{k}{n}}.$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{\sin \frac{\pi }{n}}{n+1}+\frac{\sin \frac{2\pi }{n}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots +\frac{\sin \pi }{n+\frac{1}{n}}).$$

求极限

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n^3+1}+\frac{4}{n^3+2}+\cdots +\frac{n^2}{n^3+n})$$

设 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=A$, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=B$, 则
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}(a_1{b}_n+a_2{b}_{n-1}+\cdots +a_n{b}_1)=AB.$$

例如

1.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n})=\ln 2$$

2.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}]=\ln 2$$

3. [Leo Moser] 设 $f(n)$ 为 $n$ 表示成一个或多个相连素数之和的表示方法数, 则有

$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{N}\sum _{n=1}^{N}f(n)=\ln 2$$

4.

$$\log (2)=\sqrt{2}(\frac{1}{2}-\sum _{k⩾1}\frac{1}{(4k^2-1)(17+12\sqrt{2}{)}^k})$$

设 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=A$, 则
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}=A.$$

也就是说, 如果一个数列收敛到 $A$, 则这个数列的前 $n$ 项的平均值也收敛到 $A$.

但是, 逆命题不成立. 例如 $\{a_n=(-1{)}^n\}$.

应用.

例. 求极限

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n})$$

这显然等于 0. 与之相关的一个极限是

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\ln n}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n})$$

参见问题1933

$\underset{u\to 0^{+}}{lim}\ln (1-u)\ln u=?$

首先不妨先做个观察, 令 $t=\frac{1}{u}$, $t\to +\mathrm{\infty }$, 从而

$$\ln (1-u)\ln u=\ln (1-\frac{1}{t})\ln \frac{1}{t}=-\ln (1-\frac{1}{t})\ln t<-\ln (1-\frac{1}{t})\cdot t=\ln (1+\frac{1}{-t}{)}^{-t}$$

而

$$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\ln (1+\frac{1}{-t}{)}^{-t}=1$$

于是, 当 $t\to +\mathrm{\infty }$ 时,

$$-\ln (1-\frac{1}{t})\ln t=-\ln (1-\frac{1}{t})\cdot t\cdot \frac{\ln t}{t}\to 0.$$

推论: $\underset{u\to 1^{-}}{lim}\ln (1-u)\ln u=0$.

求

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$$

Remark

实际上, 有更详细的 Wallis 公式 (见问题702)

$$\frac{\pi }{2}=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}{]}^2\frac{1}{2n+1}$$