求 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+xe^x)^{\frac{x+1}{x}}$.

求 $\lim_{x\rightarrow+\infty}x(\sqrt{x^2+1}-x)$.

求极限

\[\lim\limits_{x\rightarrow 0}\Bigl(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\Bigr)^{\frac{1}{x}}.\]

[分析]

首先, $\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\geqslant\sqrt[3]{a^x b^x c^x}$, 从而

\[
\Bigl(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\Bigr)^{\frac{1}{x}}\geqslant\sqrt[3]{abc}.
\]

因此, 如果极限存在, 则极限值大于等于 $\sqrt[3]{abc}$.

显然, 此题可以推广到一般情形, 且有不同的形式

设 $a_1, a_2,\ldots, a_n$ 都是正数. 求

\[
\lim_{x\rightarrow\infty}\biggl(\frac{a_1^{\frac{1}{x}}+a_2^{\frac{1}{x}}+\cdots+a_n^{\frac{1}{x}}}{n}\biggr)^{nx}
\]

证明:

\[
\sqrt[n]{n}-1\sim\frac{\ln n}{n},\quad\text{when}\ n\rightarrow+\infty
\]

设 $x_1=1$, $x_2=1+\frac{x_1}{1+x_1}$, $\ldots$, $x_n=1+\frac{x_{n-1}}{1+x_{n-1}}$, $n=2,3,\ldots$.

我们写出这个数列 $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ 的前几项:

\[
\frac{1}{1},\ \frac{3}{2},\ \frac{8}{5},\ \frac{21}{13},\ \frac{55}{34},\ \frac{144}{89},\ \ldots
\]

证明:

(1) 如果 $x_n$ 表示为既约分数 $\frac{a_n}{b_n}$, 则有

\[
b_n^2=a_n\cdot a_{n-1}+1,\qquad b_n\cdot b_{n+1}=a_n^2+1.
\]

(2) 极限 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_n$ 存在, 并求此极限值.

设 $f$ 在 $(0,+\infty)$ 上有三阶导数, 如果 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)$ 和 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f'''(x)$ 都存在且有限,

证明:

\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}f''(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}f'''(x)=0.
\]
 

求极限

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}(\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots+\frac{n}{2^n})
\]

求极限

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\int_0^x \sin\frac{1}{t}dt}{x}
\]

求极限

\[
\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x^x-(\sin x)^x}{x-\sin x}
\]

设 $f(x)$ 是定义在 $a$ 点某开邻域 $U$ 上的实值函数, 且 $f$ 在点 $a$ 处可微. 证明: 如果 $U$ 中的两个点列, $x_n$ 递增趋于 $a$, $y_n$ 递减趋于 $a$, 则有

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f(y_n)-f(x_n)}{y_n-x_n}=f'(a).
\]

应用此结论, 求解极限

\[
\lim_{x\rightarrow\infty}x^4\Bigl(\arctan(2+\frac{3}{x^2+1})-\arctan(2+\frac{3}{x^2+2})\Bigr)
\]

References:

Paulo Ney de Souza, Jorge-Nuno Silva, Berkeley Problems in Mathematics, Third Edition.  Problem 1.4.21 (Sp91).