设 $f$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上有三阶导数, 如果 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ 和 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}^{‴}(x)$ 都存在且有限,

证明:

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}^{\prime }(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}^{″}(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}^{‴}(x)=0.$$
 

求极限

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}(\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots +\frac{n}{2^n})$$

求极限

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\int }_0^x\sin \frac{1}{t}dt}{x}$$

求极限

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x^x-(\sin x{)}^x}{x-\sin x}$$

设 $f(x)$ 是定义在 $a$ 点某开邻域 $U$ 上的实值函数, 且 $f$ 在点 $a$ 处可微. 证明: 如果 $U$ 中的两个点列, $x_n$ 递增趋于 $a$, $y_n$ 递减趋于 $a$, 则有

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(y_n)-f(x_n)}{y_n-x_n}=f^{\prime }(a).$$

应用此结论, 求解极限

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^4(\arctan (2+\frac{3}{x^2+1})-\arctan (2+\frac{3}{x^2+2}))$$

References:

Paulo Ney de Souza, Jorge-Nuno Silva, Berkeley Problems in Mathematics, Third Edition.  Problem 1.4.21 (Sp91).

设 $x_1>0$, $x_{n+1}=\ln (x_n+1)$. 求

(1) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$;

(2) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_n\cdot x_{n+1}}{x_n-x_{n+1}}$.

求极限

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}}{\ln n}$$

求极限

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$$

[Hint] 用积分

或者求

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$$

如果不使用积分, 怎么算?

利用此极限, 求

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt[n]{(a+b)(2a+b)\cdots (na+b)}}{n},$$

这里 $a,b$ 均为正数.

注:  对于 $\alpha >0$,

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt[n]{(1+\alpha )(2+\alpha )\cdots (n+\alpha )}}{n}$$

与

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$$

的结果是一样的.

求极限

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n^2+1{)}^{1/2}}+\cdots +\frac{1}{(n^n+1{)}^{1/n}}]$$

[Hint] 使用夹逼准则.

求

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^2}[\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2-4}+\cdots +\sqrt{n^2-(n-1{)}^2}]$$

[Hint] 用积分