证明: $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n$ 极限存在. 这里 $n\in\mathbb{Z}$.

记此极限为 $e$. 即

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e
\]

一般的, 对于实数 $x$, 也有

\[
\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e
\]

$f(x)=(1+\frac{1}{x})^x$ 这个函数, 如果视之为实函数, 则其定义域为 $(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)$. 对于 $[-1,0]$ 中几乎所有的 $x$, $f(x)$ 都是(非实数的)复数. 不过可以证明下面两个结果.

\[
\lim_{x\rightarrow 0^+}(1+\frac{1}{x})^x=1.
\]

\[
\lim_{x\rightarrow -1^{-}}(1+\frac{1}{x})^x=+\infty.
\]

设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=+\infty$, 证明

\[\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=+\infty.\]

类似的问题, 见问题1182

设 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 是方程 $\tan x=x$ 的全部正根, 且按升序排列.

求

\[\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x_n-x_{n-1}).\]

求极限

\[\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\Bigr)^n\].

设 $a,b,c$ 都是正数, 求

\[\lim_{n\rightarrow+\infty}(a^n+b^n+c^n)^{\frac{1}{n}}.\]

例如:

\[\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{1+2^n+3^n}.\]

求

\[\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\Bigl(\frac{x^2+x+1}{x^2+x}\Bigr)^{2x^2}.\]

求 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+xe^x)^{\frac{x+1}{x}}$.

求 $\lim_{x\rightarrow+\infty}x(\sqrt{x^2+1}-x)$.

求极限

\[\lim\limits_{x\rightarrow 0}\Bigl(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\Bigr)^{\frac{1}{x}}.\]

[分析]

首先, $\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\geqslant\sqrt[3]{a^x b^x c^x}$, 从而

\[
\Bigl(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\Bigr)^{\frac{1}{x}}\geqslant\sqrt[3]{abc}.
\]

因此, 如果极限存在, 则极限值大于等于 $\sqrt[3]{abc}$.

显然, 此题可以推广到一般情形, 且有不同的形式

设 $a_1, a_2,\ldots, a_n$ 都是正数. 求

\[
\lim_{x\rightarrow\infty}\biggl(\frac{a_1^{\frac{1}{x}}+a_2^{\frac{1}{x}}+\cdots+a_n^{\frac{1}{x}}}{n}\biggr)^{nx}
\]

证明:

\[
\sqrt[n]{n}-1\sim\frac{\ln n}{n},\quad\text{when}\ n\rightarrow+\infty
\]