求极限 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\Bigl(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\Bigr)^{\frac{1}{x}}$.
求极限
\[\lim\limits_{x\rightarrow 0}\Bigl(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\Bigr)^{\frac{1}{x}}.\]
[分析]
首先, $\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\geqslant\sqrt[3]{a^x b^x c^x}$, 从而
\[
\Bigl(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\Bigr)^{\frac{1}{x}}\geqslant\sqrt[3]{abc}.
\]
因此, 如果极限存在, 则极限值大于等于 $\sqrt[3]{abc}$.
显然, 此题可以推广到一般情形, 且有不同的形式
设 $a_1, a_2,\ldots, a_n$ 都是正数. 求
\[
\lim_{x\rightarrow\infty}\biggl(\frac{a_1^{\frac{1}{x}}+a_2^{\frac{1}{x}}+\cdots+a_n^{\frac{1}{x}}}{n}\biggr)^{nx}
\]