问题及解答

设 $a,b,c$ 都是正数, 求

\[\lim_{n\rightarrow+\infty}(a^n+b^n+c^n)^{\frac{1}{n}}.\]

例如:

\[\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{1+2^n+3^n}.\]

不妨设 $0 < a\leqslant b\leqslant c$, 则

\[
c=\sqrt[n]{c^n} < \sqrt[n]{a^n+b^n+c^n}\leqslant\sqrt[n]{3c^n}=\sqrt[n]{3}c
\]

由于 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{3}=1$, 故由夹逼原理,

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n+c^n}=c=\max\{a,b,c\}.
\]