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设数列 $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ 满足 $x_{n+1}=1+\frac{x_n}{1+x_n}$, $x_1=1$, 证明 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_n$ 存在, 并求此极限.

Posted by haifeng on 2017-12-18 16:48:13 last update 2017-12-18 20:54:55 | Answers (1) | 收藏


设 $x_1=1$, $x_2=1+\frac{x_1}{1+x_1}$, $\ldots$, $x_n=1+\frac{x_{n-1}}{1+x_{n-1}}$, $n=2,3,\ldots$.

我们写出这个数列 $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ 的前几项:

\[
\frac{1}{1},\ \frac{3}{2},\ \frac{8}{5},\ \frac{21}{13},\ \frac{55}{34},\ \frac{144}{89},\ \ldots
\]

证明:

(1) 如果 $x_n$ 表示为既约分数 $\frac{a_n}{b_n}$, 则有

\[
b_n^2=a_n\cdot a_{n-1}+1,\qquad b_n\cdot b_{n+1}=a_n^2+1.
\]

(2) 极限 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_n$ 存在, 并求此极限值.