设 $f$ 在 $(0,+\infty)$ 上有三阶导数, 如果 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)$ 和 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f'''(x)$ 都存在且有限,
证明:
\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}f''(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}f'''(x)=0.
\]
1
设 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=A$. 则根据极限的定义,
$\forall\ \varepsilon > 0$, 存在 $M > 0$, 当 $x > M$ 时, 有
\[
|f(x)-A| < \varepsilon.
\]
取点 $\{x_i\}_{i=0}^{+\infty}$, 满足 $x_0 > M$ 且 $x_i=x_0+i\cdot d$, 这里 $d > 0$.
于是, 由 Lagrange 中值定理, 在每个区间 $(x_{i}, x_{i+1})$ 中, 存在 $\xi_i\in(x_{i}, x_{i+1})$, 使得
\[
f'(\xi_i)=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{d}
\]
注意到 $A-\varepsilon < f(x) < A+\varepsilon$, 故得 $-2\varepsilon < f(x_{i+1})-f(x_i) < 2\varepsilon$. 因此
\[
-\frac{2\varepsilon}{d} < f'(\xi_i) < \frac{2\varepsilon}{d}\tag{1}
\]
考虑点 $\{\xi_{2j}\}_{j=1}^{+\infty}$, 函数 $f'(x)$ 在这些区间上满足 Lagrange 中值定理的条件. 仿照上面, 在每个区间 $[\xi_{2j}, \xi_{2(j+1)}]$, 存在 $\eta_{j}\in(\xi_{2j}, \xi_{2(j+1)})$, 使得
\[
f''(\eta_{j})=\frac{f'(\xi_{2j+2})-f'(\xi_{2j})}{\xi_{2j+2}-\xi_{2j}}
\]
根据 (1), 以及 $|\xi_{2j+2}-\xi_{2j}| > d$, 可得
\[
|f''(\eta_j)|=\biggl|\frac{f'(\xi_{2j+2})-f'(\xi_{2j})}{\xi_{2j+2}-\xi_{2j}}\biggr| < \frac{4\varepsilon}{d^2}\tag{2}
\]
类似的, 考虑区间 $[\eta_{2k},\eta_{2k+2}]$, 函数 $f''(x)$ 在这些区间上满足 Lagrange 中值定理的条件. 仿照上面, 在每个区间 $[\eta_{2k},\eta_{2k+2}]$, 存在 $w_{k}\in(\eta_{2k},\eta_{2k+2})$, 使得
\[
f'''(w_{k})=\frac{f''(\eta_{2k+2})-f''(\eta_{2k})}{\eta_{2k+2}-\eta_{2k}}
\]
根据 (2), 以及 $|\eta_{2k+2}-\eta_{2k}| > d$, 可得
\[
|f'''(w_k)|=\biggl|\frac{f''(\eta_{2k+2})-f''(\eta_{2k})}{\eta_{2k+2}-\eta_{2k}}\biggr| < \frac{8\varepsilon}{d^3}
\]
根据条件, $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f'''(x)$ 存在, 因此这个极限一定为 0.
也就是说, $\forall\epsilon > 0$, 存在 $M_1 > 0$, 当 $w > M_1$ 时, 都有
\[
|f'''(w)-0| < \epsilon .\tag{3}
\]
刚才已经知道 $f''(x)$ 在点列 $\{\eta_{j}\}_{j}^{+\infty}$ 上是收敛到 0 的, 现在加上(3), 可以迫使函数 $f''(x)$ 在任意点列 $\{\eta_{p_j}\}$ 上都收敛于 0.
否则, 若存在点列 $\{\eta_{p_j}\}$, 存在某个 $\delta > 0$, 使得 $|f''(\eta_{p_j})-0| > \delta$ 对所有 $p_j$ 成立. 则再次使用Lagrange中值定理, 可得存在点列 $z_{p_j}$, 使得 $f'''(z_{p_j})\not\rightarrow 0$. 矛盾. 因此必有
\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}f''(x)=0.
\]
同理, 可推出
\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=0.
\]