问题及解答

求极限

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\int_0^x \sin\frac{1}{t}dt}{x}
\]

以下使用了积分中值定理, 但是由于 $\sin\frac{1}{t}$ 在 $[0,x]$ 上不连续（在 $0$ 点不连续）。因此下面的做法是错误的。

[解]

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\int_0^x \sin\frac{1}{t}dt}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin\frac{1}{\xi}\int_0^x dt}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\sin\frac{1}{\xi}
\]

注意到 $\xi\in[0,x]$, 因此, 当 $x\rightarrow 0$ 时, 由于 $\lim_{x\rightarrow 0}\sin\frac{1}{\xi}$ 不存在, 故原极限也不存在.

Remark:

也不能直接用 L'Hospital 法则来说明极限不存在. 比如

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\int_0^x \sin\frac{1}{t}dt}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin\frac{1}{x}}{1},
\]

后者极限不存在, 从而原极限也不存在.

正确的做法是利用分部积分.

\[
\begin{split}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\int_0^x \sin\frac{1}{t}dt}{x}&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\int_0^x t^2 d\cos\frac{1}{t}}{x}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{t^2\cos\frac{1}{t}\biggr|_0^x -\int_0^x \cos\frac{1}{t}dt^2}{x}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2\cos\frac{1}{x}-\int_0^x 2t\cos\frac{1}{t}dt}{x}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}x\cos\frac{1}{x}-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\int_0^x 2t\cos\frac{1}{t}dt}{x}\\
&=0-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x\cos\frac{1}{x}}{1}\\
&=0.
\end{split}
\]

Remark: The proof is provided by Tao Liu (刘涛).