证明:

\[\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{(1-\frac{\ln n}{n})^n}{\frac{1}{n}}=1.\]

Q. 下面的做法正确吗?

\[
\begin{split}
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(1-\frac{\ln n}{n})^n}{\frac{1}{n}}&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\biggl[(1+\frac{-\ln n}{n})^{\frac{n}{-\ln n}}\biggr]^{-\ln n}}{\frac{1}{n}}\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{e^{-\ln n}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1
\end{split}
\]

或者

\[
\begin{split}
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(1-\frac{\ln n}{n})^n}{\frac{1}{n}}&=\lim_{n\rightarrow\infty} n(1-\frac{\ln n}{n})^n=\lim_{n\rightarrow\infty}e^{\ln n}\cdot\biggl[(1+\frac{-\ln n}{n})^{\frac{n}{-\ln n}}\biggr]^{-\ln n}\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}e^{\ln n}\cdot e^{-\ln n}=1.
\end{split}
\]

求极限

\[\lim_{x\rightarrow\infty}(\frac{2x+1}{2x-3})^{3x-1}.\]

证明:

\[\lim_{x\rightarrow 0}x\ln(\sin x)=0.\]

\[\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\ln(\cos x)\cdot\ln(\sin x)=0.\]

设曲线 $y=\Bigl[x\ln(1+\frac{1}{x})\Bigr]^{kx}$ 有水平渐近线 $y=e$, 求常数 $k$.

[Hint] 使用 Taylor 公式. 

也可以不用 Taylor 公式做.

等价地, 求  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x\ln\bigl[x\ln(1+\frac{1}{x})\bigr]$

求极限

1.    $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1-\tan x)^{\cot 2x}$.

2.   $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$

3.   $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1-\tan x)^{\cot x}$.

设 $a < b$, $x_0=a$, $x_1=b$, $x_n=\dfrac{x_{n-1}+x_{n-2}}{2}$, $(n=2,3,\ldots)$, 证明:

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=\frac{a+2b}{3}.
\]

求极限

\[\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{(x+a)^{x+a}(x+b)^{x+b}}{(x+a+b)^{2x+a+b}}.\]

题目来源:

伏龙芝军事学院大一需要掌握哪些数学

(1)

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{\sin x^3}
\]

[Ans] $\frac{1}{4}$

(2) 

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\biggl(\frac{\sin x}{x}\biggr)^{\frac{1}{1-\cos x}}
\]

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\Biggl[\frac{\cos^2\frac{\pi}{n}}{n+\frac{1}{n}}+\frac{\cos^2\frac{2\pi}{n}}{n+\frac{2}{n}}+\cdots+\frac{\cos^2\frac{n\pi}{n}}{n+\frac{n}{n}}\Biggr]
\]

[分析] 碰到这种有 $n$ 项求和的极限, 一般使用夹逼准则或视为积分的近似和.

1.    $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\ln(n!)}{n^2}$

2.    $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\ln(n!)}{n}$