问题及解答

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{{\cos }^2\frac{\pi }{n}}{n+\frac{1}{n}}+\frac{{\cos }^2\frac{2\pi }{n}}{n+\frac{2}{n}}+\cdots +\frac{{\cos }^2\frac{n\pi }{n}}{n+\frac{n}{n}}]$$

[分析] 碰到这种有 $n$ 项求和的极限, 一般使用夹逼准则或视为积分的近似和.

对于 $i=1,2,\dots ,n$,

$$\frac{{\cos }^2\frac{i\pi }{n}}{n+1}⩽\frac{{\cos }^2\frac{i\pi }{n}}{n+\frac{i}{n}}⩽\frac{{\cos }^2\frac{i\pi }{n}}{n}$$

因此,

$$\frac{n}{n+1}\cdot \sum _{i=1}^n{\cos }^2\frac{i\pi }{n}\cdot \frac{1}{n}⩽\sum _{i=1}^n\frac{{\cos }^2\frac{i\pi }{n}}{n+\frac{i}{n}}⩽\sum _{i=1}^n{\cos }^2\frac{i\pi }{n}\cdot \frac{1}{n}$$

由于

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n{\cos }^2\frac{i\pi }{n}\cdot \frac{1}{n}={\int }_0^1{\cos }^2(\pi x)\mathrm{d}x={\int }_0^1\frac{1+\cos (2\pi x)}{2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2},$$

故

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n\frac{{\cos }^2\frac{i\pi }{n}}{n+\frac{i}{n}}=\frac{1}{2}.$$

类似可证或可直接推出

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n\frac{{\sin }^2\frac{i\pi }{n}}{n+\frac{i}{n}}=\frac{1}{2}.$$