判断函数 $f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n\arctan(nx)}{\sqrt{n^2+n}}$ 是否连续. 若不连续, 指出间断点及其类型.
判断函数 $f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n\arctan(nx)}{\sqrt{n^2+n}}$ 是否连续. 若不连续, 指出间断点及其类型.
判断函数 $f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n\arctan(nx)}{\sqrt{n^2+n}}$ 是否连续. 若不连续, 指出间断点及其类型.
1
\[
\begin{split}
f(x)&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\arctan(nx)}{\sqrt{n^2+n}}\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\arctan(nx)}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\arctan(nx)
\end{split}
\]
于是
\[
f(x)=\begin{cases}
\frac{\pi}{2}, & x > 0,\\
0, & x=0,\\
-\frac{\pi}{2}, & x < 0,\\
\end{cases}
\]
因此函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 不连续, $x=0$ 是间断点, 是跳跃间断点.