上面的做法是错误的. 正确的做法如下.
Pf. 令 $y(n)=n(1-\frac{\ln n}{n})^n$, 则 $\ln y(n)=\ln n+n\ln(1-\frac{\ln n}{n})$. 即要证
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigl[\ln n+n\ln(1-\frac{\ln n}{n})\Bigr]=0.
\]
注意到
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\ln(1-\frac{\ln n}{n})}{\ln n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\cdot(-1)\cdot\frac{\ln n}{n}}{\ln n}=-1,
\]
故 $n\ln(1-\frac{\ln n}{n})=-\ln n+o(\ln n)$.
由 $\ln(1-x)$ 的 Taylor 展开式
\[
\ln(1-x)=-x-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4-\cdots-\frac{1}{n}x^n-\cdots
\]
有
\[
\ln(1-\frac{\ln n}{n})=-\frac{\ln n}{n}-\frac{1}{2}\cdot(\frac{\ln n}{n})^2-\frac{1}{3}(\frac{\ln n}{n})^2-\cdots
\]
因此,
\[
\ln n+n\ln(1-\frac{\ln n}{n})=-\frac{1}{2}\cdot\frac{(\ln n)^2}{n}-\frac{1}{3}\cdot\frac{(\ln n)^3}{n^2}-\frac{1}{4}\cdot\frac{(\ln n)^4}{n^3}-\cdots-\frac{1}{m}\cdot\frac{(\ln n)^m}{n^{m-1}}-\cdots
\]
由于 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln n}{n}=0$, 故 $\forall\ \varepsilon > 0$, 存在 $N$, 当 $n > N$ 时, 都有 $0 < \frac{\ln n}{n} < \varepsilon$.
因此,
\[
\begin{split}
0 &\geqslant -\frac{1}{2}\cdot\frac{(\ln n)^2}{n}-\frac{1}{3}\cdot\frac{(\ln n)^3}{n^2}-\frac{1}{4}\cdot\frac{(\ln n)^4}{n^3}-\cdots-\frac{1}{m}\cdot\frac{(\ln n)^m}{n^{m-1}}-\cdots\\
&=\frac{(\ln n)^2}{n}\cdot\biggl[-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\cdot\frac{\ln n}{n}-\frac{1}{4}\cdot\Bigl(\frac{\ln n}{n}\Bigr)^2-\frac{1}{5}\cdot\Bigl(\frac{\ln n}{n}\Bigr)^3-\cdots-\frac{1}{m}\cdot\Bigl(\frac{\ln n}{n}\Bigr)^{m-2}-\cdots\biggr]\\
& > \frac{(\ln n)^2}{n}\cdot\biggl[-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\varepsilon-\frac{1}{4}\varepsilon^2-\frac{1}{5}\varepsilon^3-\cdots-\frac{1}{m}\varepsilon^{m-2}-\cdots\biggr]\\
& > \frac{(\ln n)^2}{n}\cdot\biggl[-1-\varepsilon-\varepsilon^2-\varepsilon^3-\cdots-\varepsilon^{m-2}-\cdots\biggr]\\
&=\frac{(\ln n)^2}{n}\cdot(-1)\cdot\frac{1}{1-\varepsilon}
\end{split}
\]
而 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{(\ln n)^2}{n}\cdot\frac{-1}{1-\varepsilon}=0$, 故由极限的夹逼准则, 得
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigl[\ln n+n\ln(1-\frac{\ln n}{n})\Bigr]=0.
\]
证毕. Date: 2021.12.11
