设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=A$, 则
\[
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=A.
\]

也就是说, 如果一个数列收敛到 $A$, 则这个数列的前 $n$ 项的平均值也收敛到 $A$.

但是, 逆命题不成立. 例如 $\{a_n=(-1)^n\}$.

应用.

例. 求极限

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n})\]

这显然等于 0. 与之相关的一个极限是

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\ln n}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n})\]

参见问题1933

$\lim_{u\rightarrow 0^+}\ln(1-u)\ln u=?$

首先不妨先做个观察, 令 $t=\frac{1}{u}$, $t\rightarrow +\infty$, 从而

\[
\ln(1-u)\ln u=\ln(1-\frac{1}{t})\ln\frac{1}{t}=-\ln(1-\frac{1}{t})\ln t < -\ln(1-\frac{1}{t})\cdot t=\ln(1+\frac{1}{-t})^{-t}
\]

而

\[
\lim_{t\rightarrow +\infty}\ln(1+\frac{1}{-t})^{-t}=1
\]

于是, 当 $t\rightarrow +\infty$ 时,

\[
-\ln(1-\frac{1}{t})\ln t=-\ln(1-\frac{1}{t})\cdot t\cdot \frac{\ln t}{t}\rightarrow 0.
\]

推论: $\lim_{u\rightarrow 1^-}\ln(1-u)\ln u=0$.

求

\[\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\]

Remark

实际上, 有更详细的 Wallis 公式 (见问题702)

\[\frac{\pi}{2}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\biggl[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\biggr]^2\frac{1}{2n+1}\]