平均数的极限
设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=A$, 则
\[
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=A.
\]
也就是说, 如果一个数列收敛到 $A$, 则这个数列的前 $n$ 项的平均值也收敛到 $A$.
但是, 逆命题不成立. 例如 $\{a_n=(-1)^n\}$.
应用.
例. 求极限
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n})\]
这显然等于 0. 与之相关的一个极限是
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\ln n}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n})\]
参见问题1933