例如
1.
\[\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n})=\ln 2\]
2.
\[\lim_{n\rightarrow\infty}[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots +(-1)^{n-1}\frac{1}{n}]=\ln 2\]
3. [Leo Moser] 设 $f(n)$ 为 $n$ 表示成一个或多个相连素数之和的表示方法数, 则有
\[
\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}f(n)=\ln 2
\]
4.
\[\log(2)=\sqrt{2}\biggl(\frac{1}{2}-\sum_{k\geqslant 1}\frac{1}{(4k^2-1)(17+12\sqrt{2})^k}\biggr)\]
1
令 $c_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n$, 利用
\[
\frac{1}{k+1} < \ln(1+\frac{1}{k}) < \frac{1}{k}
\]
或等价的
\[
\frac{1}{k+1} < \ln(1+k)-\ln k < \frac{1}{k}, \quad (*)
\]
可以证明 $\{c_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是严格递减且有下界 0 的数列, 因此有极限. 人们将此极限记为 $\gamma$.
事实上, 将(*)从 $k=1$ 到 $n$ 累加即得
\[
\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n+1} < \ln(n+1) < 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}.
\]
于是 $c_n > \ln(n+1)-\ln n > 0$, 并且
\[
c_{n+1}-c_n=\frac{1}{n+1}-\ln(n+1)+\ln n=\frac{1}{n+1}-\ln(1+\frac{1}{n}) < 0.
\]
\[
\begin{split}
\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n})&=\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl[(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2n})-(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n})\biggr]\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigl[(c_{2n}+\ln(2n))-(c_n+\ln n)\Bigr]\\
&=\gamma-\gamma+\ln 2\\
&=\ln 2.
\end{split}
\]
References:
梅加强, 数学分析.