设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=+\infty$, 证明
\[\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=+\infty.\]
类似的问题, 见问题1182
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Pf. 由 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=+\infty$,
$\forall M > 0$, $\exists N_1\in\mathbb{N}$, 当 $n > N_1$ 时, 有 $a_n > M$.
另一方面, 存在 $N_2\in\mathbb{N}$, 使得, $a_1+a_2+\cdots+a_{N_2} > 0$.
[证明: 对于上面的 $M$ 及与之有关的 $N_1$, $|a_1+a_2+\cdots+a_{N_1}|< cM$, $c$ 是某个正常数. 因此存在 $N_2$, 使得 $a_1+a_2+\cdots+a_{N_2} > 0$. ]
因此, 令 $N=\max\{N_1,N_2\}$, 对所给的 $M$, 当 $n > 2N$ 时,
\[
\begin{split}
\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}&=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_N}{n}+\frac{a_{N+1}+\cdots+a_n}{n}\\
&>\frac{a_1+a_2+\cdots+a_N}{n}+\frac{(n-N)M}{n}\\
&=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_N}{n}+(1-\frac{N}{n})M\\
&>\frac{1}{2}M+\frac{a_1+a_2+\cdots+a_N}{n}\\
&>\frac{1}{2}M
\end{split}
\]
故
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=+\infty
\]