问题及解答

证明 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}=1$.

Pf.  设 $\sqrt[n]{n}=1+\alpha_n$, 则 $n=(1+\alpha_n)^n$. 可见 $\alpha_n > 0$. 将其展开, 得

\[n=(1+\alpha_n)^n=1+n\alpha_n+\frac{n(n-1)}{2}\alpha_n^2+\cdots+\alpha_n^n > \frac{n(n-1)}{2}\alpha_n^2. \]

即有 $n > \frac{n(n-1)}{2}\alpha_n$.  当 $n > 1$ 时, 这推出

\[
0\leqslant \alpha_n < \sqrt{\frac{2}{n-1}}.
\]

应用夹逼原理, 得 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\alpha_n=0$, 从而 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}=1$.

我们还可以证明 $\{\sqrt[n]{n}\}$ 这个数列当 $n\geqslant 3$ 时是严格单调递减的. (见问题1714.)

参考 [1]

[1]  梅加强  编著 《数学分析》