问题

证明数列 $\{\sqrt[n]{n}\}$ 对于 $n\geqslant 3$ 是严格递减的.

[Hint] 考虑函数 $f(x)=\log(x^{1/x})=\frac{\log x}{x}$, 证明 $f(x)$ 在 $(4.5,+\infty)$ 上是严格凸的.

References:

孙智伟 ON A SEQUENCE INVOLVING SUMS OF PRIMES, Bull. Aust. Math. Soc. 88(2013), no. 2, 197–205. 

http://arxiv.org/pdf/1207.7059v7.pdf