问题及解答

设 $f(x)=\arctan x$, 求 $f^{(n)}(x)$.  (参见[1] 例4.2.10)

解: 记 $y=\arctan x$, 则 $x=\tan y$, 从而

\[
y'=\frac{1}{1+x^2}=\cos^2 y=\cos y\cdot\sin(y+\frac{\pi}{2})
\]

两边对 $x$ 求导, 得

\[
\begin{split}
y''&=\big[-\sin y\cdot\sin(y+\frac{\pi}{2})+\cos y\cdot\cos(y+\frac{\pi}{2})\big]\cdot y'\\
&=\cos(2y+\frac{\pi}{2})\cdot\cos^2 y\\
&=\cos^2 y\cdot\sin 2(y+\frac{\pi}{2}).
\end{split}
\]

继续对 $x$ 求导, 用归纳法可以发现,

\[
f^{(n)}(x)=y^{(n)}=(n-1)!\cos^n y\cdot\sin\bigl[n(y+\frac{\pi}{2})\bigr].
\]

请完成证明.

特别地, 当 $x=0$ 时, $y=0$, 故

\[
f^{(n)}(0)=(n-1)!\cdot(\cos 0)^n\cdot\sin\frac{n\pi}{2}=\begin{cases}
(n-1)! & n=4k+1,\\
0 & n=2k,\\
-(n-1)! & n=4k+3.
\end{cases}
\]

由此, 得到 $\arctan x$ 在 $x=0$ 处的 Taylor 展开 (或 Taylor 公式, 也称 MacLaurin 展开公式):

\[
x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+\cdots
\]

其 Lagrange 余项为

\[
R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)(\xi)}}{(n+1)!}(x-0)^{n+1}=\frac{n!\cos^{n+1}y(\xi)\cdot\sin\bigl[(n+1)(y(\xi)+\frac{\pi}{2})\bigr]}{(n+1)!}x^{n+1},
\]

从而

\[
|R_n(x)|\leqslant\frac{|x|^{n+1}}{n+1}\rightarrow 0\quad(n\rightarrow\infty).
\]

因此,

\[
\arctan x=x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+\cdots,\quad\forall\ x\in(-\infty,+\infty).
\]

特别地, 令 $x=1$, 得

\[
\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{2n-1}.
\]

References:

[1] 梅加强, 《数学分析》 高等教育出版社

Proof.

\[
\begin{split}
y'''&=\bigl(\cos^2 y\cdot\sin 2(y+\frac{\pi}{2})\bigr)'\\
&=y'\cdot\Bigl[2\cos y\cdot(-\sin y)\cdot\sin 2(y+\frac{\pi}{2})+\cos^2 y\cdot\cos 2(y+\frac{\pi}{2})\cdot 2\Bigr]\\
&=\cos^2 y\cdot 2\cos y\cdot\Bigl[-\sin y\cdot\sin 2(y+\frac{\pi}{2})+\cos y\cdot\cos 2(y+\frac{\pi}{2})\Bigr]\\
&=2\cos^3 y\cdot\cos\bigl(y+2(y+\frac{\pi}{2})\bigr)\\
&=(3-1)!\cdot\cos^3 y\cdot\sin 3(y+\frac{\pi}{2})
\end{split}
\]

假设结论对 $n=k$ 成立, 即

\[
y^{(k)}=(k-1)!\cdot\cos^k y\cdot\sin k(y+\frac{\pi}{2})
\]

则

\[
\begin{split}
y^{(k+1)}&=\bigl(y^{(k)}\bigr)'\\
&=(k-1)!\cdot\bigl(\cos^k y\cdot\sin k(y+\frac{\pi}{2})\bigr)'\\
&=(k-1)!\cdot y'\cdot\Bigl[k\cos^{k-1}y\cdot(-\sin y)\cdot\sin k(y+\frac{\pi}{2})+\cos^k y\cdot\cos k(y+\frac{\pi}{2})\cdot k\Bigr]\\
&=(k-1)!\cdot \cos^2 y\cdot k\cos^{k-1} y\cdot\Bigl[-\sin y\cdot\sin k(y+\frac{\pi}{2})+\cos y\cdot\cos k(y+\frac{\pi}{2})\Bigr]\\
&=k!\cdot\cos^{k+1} y\cdot\cos\bigl(y+k(y+\frac{\pi}{2})\bigr)\\
&=((k+1)-1)!\cdot\cos^{k+1} y\cdot\sin\big((k+1)(y+\frac{\pi}{2})\bigr)
\end{split}
\]

故 $n=k+1$ 也成立.

另一种方式求 $f^{(n)}(x)$.

由于 $y'=\frac{1}{1+x^2}$. 故 $(1+x^2)\cdot y'=1$. 利用下面的 Leibniz 求导法则

\[
(u\cdot v)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_n^k u^{(n-k)}\cdot v^{(k)},
\]

对此方程两边求 $n-1$ 阶导数, 此时不妨令 $u=y'(x)$, $v=1+x^2$, 于是得

\[
C_{n-1}^0 (y')^{(n-1)}\cdot v^{(0)}+C_{n-1}^1 (y')^{(n-2)}\cdot v^{(1)}+C_{n-1}^2 (y')^{(n-3)}\cdot v^{(2)}=0
\]

即

\[
y^{(n)}\cdot(1+x^2)+(n-1)\cdot y^{(n-1)}\cdot 2x+\frac{(n-1)(n-2)}{2}\cdot y^{(n-2)}\cdot 2=0
\]

化简为

\[
(1+x^2)y^{(n)}+2(n-1)x\cdot y^{(n-1)}+(n-1)(n-2)y^{(n-2)}=0,
\]

这里 $n\geqslant 2$.

由此递推公式, 很容易求出 $n$ 阶导数在零点处的值.

\[
y^{(n)}(0)=\begin{cases}
0, & n=2m,\\
(-1)^m\cdot(2m)!, & n=2m+1.
\end{cases}
\]

记 $t=y'=\frac{1}{1+x^2}$, 则 $t'=(-1)(1+x^2)^{-2}\cdot 2x=-2x t^2$.

上面的递推公式可以写为

\[
y^{(n)}=-2(n-1)xt\cdot y^{(n-1)}-(n-1)(n-2)t\cdot y^{(n-2)},\quad n\geqslant 2
\]

经过计算, 得

\[
\begin{aligned}
y'&=t\\
y''&=t'=-2xt^2\\
y'''&=-2t^2+8x^2 t^3\\
y^{(4)}&=24xt^3-48x^3t^4
\end{aligned}
\]

\[
\begin{split}
y^{(5)}&=(24xt^3-48x^3t^4)'_x\\
&=24\bigl[1\cdot t^3+x\cdot 3t^2\cdot t'\bigr]-48\bigl[3x^2\cdot t^4+x^3\cdot 4t^3\cdot t'\bigr]\\
&=24t^3+72xt^2\cdot(-2xt^2)-144x^2 t^4-192x^3 t^3\cdot(-2xt^2)\\
&=24t^3-288x^2 t^4+384x^4 t^5
\end{split}
\]

\[
\begin{split}
y^{(6)}&=(24t^3-288x^2 t^4+384x^4 t^5)'_x\\
&=24\cdot 3t^2\cdot t'-288(2x\cdot t^4+x^2\cdot 4t^3\cdot t')+384(4x^3 t^5+x^4\cdot 5t^4\cdot t')\\
&=72t^2\cdot(-2xt^2)-576xt^4-1152x^2\cdot t^3\cdot(-2xt^2)+1536x^3 t^5+1920x^4 t^4\cdot(-2xt^2)\\
&=-144xt^4-576xt^4+2304x^3 t^5+1536x^3 t^5-3840 x^5 t^6\\
&=-720xt^4+3840x^3 t^5-3840x^5 t^6
\end{split}
\]

\[
\begin{split}
y^{(7)}&=(-720xt^4+3840x^3 t^5-3840x^5 t^6)'_x\\
&=-720\cdot(1\cdot t^4+x\cdot 4t^3\cdot t')+3840(3x^2 t^5+x^3\cdot 5t^4\cdot t')-3840(5x^4 t^6+x^5\cdot 6t^5\cdot t')\\
&=-720t^4-2880xt^3\cdot(-2xt^2)+11520x^2 t^5+19200x^3 t^4\cdot(-2xt^2)-19200x^4 t^6-23040x^5 t^5\cdot(-2xt^2)\\
&=-720t^4+5760x^2 t^5+11520x^2 t^5-38400x^4 t^6-19200x^4 t^6+46080x^6 t^7\\
&=-720t^4+17280x^2 t^5-57600x^4 t^6+46080x^6 t^7
\end{split}
\]

将以上所得前七阶导数的表达式, 表示如下

这些系数之间的关系可以用下图来说明:

Date: 2020-10-24.

试证明之.