问题及解答

P.167  习题 4.1

2. 求下列不定积分.

(6)    $\displaystyle\int(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x^3}-1)dx$

(15)    $\displaystyle\int\frac{1}{1+\cos 2x}dx$

(20)    $\displaystyle\int\sqrt{1+\sin 2x}dx$,    $x\in(0,\frac{\pi}{2})$.

2.  (6)  由被积函数的表达式, 知 $x\geqslant 0$.

\[
\begin{split}
&\int(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x^3}-1)dx\\
=&\int(\sqrt{x^4}-\sqrt{x}+\sqrt{x^3}-1)dx\\
=&\int(x^2-x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{3}{2}}-1)dx\\
=&\frac{1}{3}x^3-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}-x+C\\
=&\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-x+C
\end{split}
\]

\[
\int\frac{1}{1+\cos 2x}\mathrm{d}x=\int\frac{1}{2\cos^2 x}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\sec^2 x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\tan x+C.
\]

2.  (20)

被积函数 $\sqrt{1+\sin 2x}$ 可以有不同的方法化简.

（法一）

\[
\sqrt{1+\sin 2x}=\sqrt{\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cdot\cos x}=\sqrt{(\sin x+\cos x)^2}=|\sin x+\cos x|
\]

由于 $x\in(0,\frac{\pi}{2})$, 因此 $\sin x+\cos x > 0$, 于是 $\sqrt{1+\sin 2x}=\sin x+\cos x$.

（法二）

\[
\begin{split}
\sqrt{1+\sin 2x}&=\sqrt{1+\frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}}\\
&=\sqrt{\frac{1+\tan^2 x+2\tan x}{1+\tan^2 x}}\\
&=\sqrt{\frac{(1+\tan x)^2}{\sec^2 x}}\\
&=\biggl|\frac{1+\tan x}{\sec x}\biggr|\\
&=|\cos x+\sin x|\\
&=\cos x+\sin x
\end{split}
\]

最后一个等号同样是由于 $x\in(0,\frac{\pi}{2})$.

因此, 原积分为

\[
\int\sqrt{1+\sin 2x}dx=\int(\cos x+\sin x)dx=\sin x-\cos x+C.
\]