问题及解答

求不定积分 $\int\frac{x^n}{1+x}\mathrm{d}x$

证明:  \[\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\mathrm{d}x=0.\]

备注:  

Sowya 使用教程 - 知乎 (zhihu.com) 给出了应用递推公式计算定积分的例子, 

计算 \[\int_0^1\frac{x^n}{x+5}\mathbb{d}x\]

(1)

\[
\int\frac{x^n}{1+x}\mathrm{d}x=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k}{n-k}x^{n-k}+(-1)^n\ln|1+x|+C
\]

(2)

注意到 $x\in[0,1]$, 故 $1\leqslant 1+x\leqslant 2$, 于是

\[
\frac{1}{2}x^n\leqslant\frac{x^n}{1+x}\leqslant x^n
\]

而 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_0^1 x^n\mathbb{d}x=0$ (关于这个结果, 可以不用 Newton-Leibniz 公式推出), 故推出

\[
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_0^1 \frac{x^n}{1+x}\mathbb{d}x=0.
\]

可参见[1] P.226 例 6.2.1.

[1] 梅加强,  《数学分析》

注意 $f(x)=\frac{1}{1+x}$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数, $g(x)=x^n$ 在 $[0,1]$ 上不变号, 且可积. 故可使用积分第一中值定理, 知存在 $\xi\in[0,1]$, 使得

\[
\int_0^1 \frac{x^n}{1+x}\mathrm{d}x=\frac{1}{1+\xi}\int_0^1 x^n\mathrm{d}x .
\]

接下来的证明与前面的一样.