问题及解答

$\chi^2$ 分布

若随机变量 $X_1,X_2,\ldots,X_n$ 相互独立, 都服从标准正态分布 $N(0,1)$, 则随机变量

\[
Y=X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2
\]

服从自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布, 记为 $Y\sim\chi^2(n)$ , 证明 $Y$ 的均值 $E(Y)=n$, 方差 $S^2=2n$.

性质:

$\chi^2$ 分布的密度函数为

\[
f(x)=\begin{cases}
\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}},& x > 0,\\
0, & x\leqslant 0.
\end{cases}
\]

特别地, 当 $n=1$ 时,

\[
f(x)=\begin{cases}
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}x^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{x}{2}},  &x > 0,\\
0, &x\leqslant 0.
\end{cases}
\]

注: 这里自由度指 $\sum_{i=1}^{n}X_i^2$ 中独立变量的个数.

性质. ($\chi^2$-分布的可加性)

若 $Y_1,Y_2,\ldots,Y_k$ 相互独立且都服从 $\chi^2$-分布, 自由度分别为 $n_1,n_2,\ldots,n_k$. 即

\[
Y_i\sim\chi^2(n_i),\quad i=1,2,\ldots,k,
\]

则

\[
\sum_{i=1}^{k}Y_i\sim\chi^2(n),\quad\text{where}\ n=\sum_{i=1}^{k}n_i.
\]

我们验证一下 $\chi^2$ 的密度函数, 即验证 $\int_0^{+\infty}f(x)dx=1$. 事实上,

\[
\begin{split}
&\int_0^{+\infty}f(x)dx\\
=&\int_0^{+\infty}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}dx\\
=&\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}\int_0^{+\infty}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}dx\\
=&\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}\int_0^{+\infty}2^{\frac{n}{2}}\cdot(\frac{x}{2})^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}d{\frac{x}{2}}\\
\xlongequal{u=x/2}&\frac{1}{\Gamma(\frac{n}{2})}\int_0^{+\infty}u^{\frac{n}{2}-1}e^{-u}du\\
=&\frac{1}{\Gamma(\frac{n}{2})}\cdot\Gamma(\frac{n}{2})\\
=&1,
\end{split}
\]

因此, 定义是合理的.

根据期望的性质(参见问题2139)

\[
E(Y)=E(X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2)=\sum_{i=1}^{n}E(X_i^2).
\]

而 $E(X^2)=D(X)+\bigl(E(X)\bigr)^2$, 这是由方差 $D(X)=E\bigl[(X-E(X))^2\bigr]$ 的定义所推出的. 因此

\[
E(X_i^2)=D(X_i)+\bigl(E(X_i)\bigr)^2=1+0^2=1.
\]

因此, $E(Y)=n$.

$D(Y)=2n$ 的证明需要用到 问题2156

[待续]