连续型随机变量的分布
（1）均匀分布 $U[a,b]$ (参见问题2133)
若随机变量 $X$ 的概率密度函数(Probability density function, PDF)定义为
\[
f(x)=\begin{cases}
\frac{1}{b-a}, & x\in[a,b],\\
0, & x\in(-\infty,a)\cup(b,+\infty).
\end{cases}
\]
则称此随机变量服从于均匀分布 $U[a,b]$, 记为 $X\sim U[a,b]$.
显然, $f(x)$ 满足 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=1$.
（2）指数分布 $\mathrm{Exp}(\lambda)$.
若随机变量 $X$ 的概率密度函数定义为
\[
f(x)=\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & x > 0,\\
0, & x\leqslant 0,
\end{cases}
\]
其中 $\lambda > 0$, 则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布, 记为 $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$.
（3） $\Gamma$-分布 (参见问题2134)
若随机变量 $X$ 的概率密度函数定义为
\[
f(x)=\begin{cases}
\frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}, & x > 0,\\
0, & x\leqslant 0,
\end{cases}
\]
其中 $\lambda > 0$, $\alpha > 0$, 则称 $X$ 服从参数为 $\lambda,\alpha$ 的 Gamma 分布, 记为 $X\sim\Gamma(\lambda,\alpha)$.
(关于 Gamma 函数 )
（4）$\chi^2$ 分布 (参见问题2128)
若随机变量 $X_1,X_2,\ldots,X_n$ 相互独立, 都服从标准正态分布 $N(0,1)$, 则随机变量
\[
Y=X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2
\]
服从自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布, 记为 $Y\sim\chi^2(n)$ , 证明 $Y$ 的均值 $E(Y)=n$, 方差 $S^2=2n$.
性质:
$\chi^2$ 分布的密度函数为
\[
f(x)=\begin{cases}
\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}},& x > 0,\\
0, & x\leqslant 0.
\end{cases}
\]
特别地, 当 $n=1$ 时,
\[
f(x)=\begin{cases}
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}x^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{x}{2}}, &x > 0,\\
0, &x\leqslant 0.
\end{cases}
\]
注: 这里自由度指 $\sum_{i=1}^{n}X_i^2$ 中独立变量的个数.