问题及解答

定理(Shiohama & Xu)

Katsuhiro Shiohama 和 Hongwei Xu(许宏伟)在[S-X] 中得到了如下结论(见[S-X] Theorem 1).

设 $M\subset N$ 是 $(n+p)$ 维黎曼流形 $N$ 的完备子流形, 且 $K_N\geq c$, 其中 $c$ 是一常数, 满足 $c+H^2>0$. 若 $\Lambda(M)<0$, 则 $M$ 紧致. 并且 $M$ 的基本群有限.

这里 \[\Lambda(M):=\sup_M(S-\alpha(n,H,c))<0,\]

\[\alpha(n,H,c):=nc+\frac{n^3}{2(n-1)}H^2-\frac{n(n-2)}{2(n-1)}\sqrt{n^2 H^4+4(n-1)cH^2}.\]

符号说明

$S$ 为第二基本形式的平方范数: $S:=\sum_{\alpha,i,j}(h_{ij}^\alpha)^2$

这里 $H$ 是 $M$ 的平均曲率

\[H:=\Biggl|\frac{1}{n}\sum_{\alpha,i}h_{ii}^\alpha e_\alpha\Biggr|\]

$K$, $R$ 分别记指 $N$ 和 $M$ 的黎曼曲率张量.

\[R_{ijkl}=K_{ijkl}+\sum_\alpha(h_{ik}^\alpha h_{jl}^\alpha-h_{il}^\alpha h_{jk}^\alpha)\]

证明思路

应用 Bonnet-Myers 定理, 证明 $M$ 的 Ricci 曲率有正的下界. 证明中的计算有相当的技巧. 有的公式值得应用, 如[S-X]中的Proposition 2

References:

[S-X] Shiohama, K. and Xu, H., The topological sphere theorem for complete submanifolds, Compositio Math. 107 (1997), 221 – 232. [pdf]