问题及解答

设 $G=\mathbb{C}^*$ 在 $\mathbb{C}^{n+1}$ 上的作用为

\[\lambda.v:=\lambda v,\quad \lambda\in\mathbb{C}^*,\ v\in\mathbb{C}^{n+1}.\]

设 $X$ 是由该作用生成的所有轨道组成的空间, 轨道即等价类. 任取两个点 $z,w\in\mathbb{C}^{n+1}$,

\[z\sim w\Leftrightarrow\exists\lambda\in\mathbb{C}^*,\ \text{s.t.}\ z=\lambda w.\]

因此

\[X=\{X_v\mid v\in\mathbb{C}^{n+1}\},\qquad X_v=\{\lambda v\mid \lambda\in\mathbb{C}^*\}\]

证明: 在商拓扑之下, 包含 $[0]$ 的开集仅有 $X$ 本身. 从而 $X$ 不是 Hausdorff 的. 而 $X\setminus [0]$ 是 Hausdorff 的, 而且是紧的. 这就是复射影空间 $\mathbb{C}P^n$.

记 $\pi:\ \mathbb{C}^{n+1}\rightarrow X$ 为商映射.

对任意 $0\neq z\in\mathbb{C}^{n+1}$, 其所在轨道 $X_z$ 的原像空间(即 $\{\lambda z\mid\lambda\in\mathbb{C}^*\}$)都不包含 $0$. 因此任意非零元所在轨道的原像空间的并集都不含 $0$. 若 $U_z$ 是 $X_z$ 在 $X$ 中的开集, 根据商拓扑其原像 $\pi^{-1}(U_z)$ 应为 $C^{n+1}$ 中的开集. 因此 $0\not\in\pi^{-1}(U_z)$. 故 $[0]\not\in U_z$.

这说明, 除了全空间 $X$ (自然是开集) 包含 $[0]$ 之外, 没有其他的开集包含 $[0]$. 故 $X$ 不是 Hausdorff 的.

下面证明: $X\setminus [0]$ 是紧致 Hausdorff 空间.

$X$ 除去 $[0]$ 就是所有非零元等价类的集合, 每个等价类就是 $\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{0\}$ 中通过原点的直线, 故 $X\setminus [0]$ 就是 $\mathbb{C}P^n$.

任给 $[z],[w]\in X\setminus [0]$, $[z]\neq [w]$. 它们之间的夹角 $\theta$ 可由公式

\[\cos\theta=\frac{\langle z,w\rangle}{\|z\|\|w\|}\]

计算出. 这里 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 是 $\mathbb{C}^{n+1}$ 作为酉空间的内积. 由于 $\theta > 0$, 故在 $\mathbb{C}^{n+1}$ 中可取两个开锥体, 分别以 $z$ 和 $w$ 所在的直线为中心轴. 它们彼此不相交. 从而它们在 $\pi$ 下也不相交. 故 $X\setminus [0]$ 是 Hausdorff 的.

至于紧致性, 我们可以这样来看, 在每个轨道空间 $X_z$ 中取一个代表元 $z$, 满足其范数 $\|z\|=1$. 也就是说, $X\setminus [0]$ 等同于实球面 $S^{2n+1}$ 粘合对径点得到商空间.  由于商拓扑就是使商映射 $\pi: S^{2n+1}\rightarrow X\setminus[0]$ 连续的最大拓扑. 故 $X\setminus[0]$ 是紧致的(因为 $S^{2n+1}$ 是紧致的).