多元函数在某一点连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系.

偏导数连续 $\Rightarrow$ 可微.

可微 $\Rightarrow$ 连续, 偏导数存在.

但是连续不一定偏导数存在, 偏导数存在也推不出连续.

二阶偏导数 $f''_{xy}$, $f''_{yx}$ 在某点连续推出 $f''_{yx}=f''_{xy}$.

偏导数存在但不连续的例子

例1. 函数

\[
f(x,y)=
\begin{cases}
\frac{xy}{x^2+y^2}, & x^2+y^2\neq 0,\\
0, & x^2+y^2=0.
\end{cases}
\]

此函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续但是偏导数存在.

或者考虑函数

\[
f(x,y)=
\begin{cases}
0, & xy=0,\\
1, & xy\neq 0.
\end{cases}
\]

显然函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续, 但在 $(0,0)$ 处的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$.

例 2. 考虑函数

\[
z=f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2},
\]

$(0,0)$ 是该锥面的尖点.

例 3. 考虑函数

\[
f(x,y)=
\begin{cases}
xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq (0,0),\\
0, & (x,y)=(0,0).
\end{cases}
\]

二元函数偏导数存在但不可微的例子

参见问题1430