环 $R$ 如果满足其每个理想升链都是有限终止的, 具体的, 假设 $I_1\subset I_2\subset\cdots\subset I_{k-1}\subset I_{k}\subset I_{k+1}\subset\cdots$ 是 $R$ 中的理想升链, 则存在 $n$, 使得 $I_n=I_{n+1}=\cdots$. 则我们称 $R$ 是 Noether Ring(诺特环).

对于非交换环, 我们要区分下面三个非常类似的概念:

(1) 如果环 $R$ 的每个左理想升链都是有限终止的, 则称 $R$ 是左诺特环.

(2) 如果环 $R$ 的每个右理想升链都是有限终止的, 则称 $R$ 是右诺特环.

(3) 环 $R$ 如果既是左诺特环又是右诺特环, 则称 $R$ 是诺特环.

注意, 如果 $R$ 是一个(含有幺元的)交换环, 则上面三种定义恰好是等同的. 一般情形下（非交换环情形）是不同的, 即存在这样的左诺特环, 但不是右诺特环.  类似的, 存在这样的右诺特环, 但它不是左诺特环.

关于左诺特环(以及右诺特环, 诺特环)有几个等价的定义.

(1) 环 $R$ 的每个左理想 $I$ 是有限生成的, 即存在 $a_1,a_2,\ldots,a_n\in I$, 使得 $I=Ra_1+Ra_2+\cdots Ra_n$.

(2) 环 $R$ 的每个左理想 $I$ 的每个非空子集, 对于由包含关系构成的偏序, 总存在关于集合包含关系的一个极大元.

例子:

域 $k$ 上的多项式环 $k[x_1,\ldots,x_n]$ 是一个诺特环.

[Thm] (by I. S. Cohen) 对于交换环, 如果它的每个素理想都是有限生成的, 则是一个 Noether Ring(诺特环).

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Noetherian_ring