证明: 曲线 $\vec{r}=\vec{r}(s)$ 位于半径为 $R$ 的二维球面 $S^2(R)$ 上, 当且仅当其曲率和挠率满足下面的公式:

\[
R^2=\frac{1}{\kappa^2(s)}\biggl[1+\frac{(\dot{\kappa}(s))^2}{\tau^2(s)\kappa^2(s)}\biggr],
\]

其中 $\dot{\kappa}=\frac{d\kappa}{ds}$. 这里假设 $\tau(s)\neq 0,\ \forall\ s$.

Remark

值得注意的是, 上面的关系需要条件 $\tau(s)\neq 0$. 比如球面 $S^2(R)$ 上非大圆的圆弧即不满足此关系式.

曲线形如

\[r(s)=-\frac{\ddot{r}(s)}{|\ddot{r}(s)|^2}+b(s)\dot{r}(s)\times\ddot{r}(s).\]