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Questions in category: 曲线曲面论 (Curve and surface theory).

Posted by haifeng on 2012-06-18 22:32:42 last update 2013-07-13 08:36:57 | Answers (0)

换言之, 三维空间中一条曲线是直线当且仅当其曲率和挠率均处处为零.

必要性是显然的, 直线是平面曲线, 因此挠率处处为零, 曲率也处处为零.

关键是证明充分性.

由于挠率处处为零, 因此 $\omega$ 矩阵形如

\[\begin{pmatrix}0 & \omega_{12} & 0\\ -\omega_{12} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]

我们可以证明这样的曲线一定是平面曲线(问题588), 从而再应用平面曲线的结论(平面曲线的曲率如果处处为零, 则必为直线问题587), 即证完.