设李群 $SO(n)$ 共轭作用于其李代数 $\mathfrak{so}(n)$ 上. 这里 $\mathfrak{so}(n)$ 是由所有反对称矩阵构成的向量空间.

令

\[A=\begin{pmatrix}
0 & -a & 0 & 0\\
a & 0 & 0 &0\\
0 & 0 & 0 &0\\
0 & 0 & 0 &0
\end{pmatrix}
\]

其中 $0\neq a\in\mathbb{R}$.

证明: $A$ 的轨道由所有秩为2且范数平方等于 $\|A\|^2=a^2$ 的反对称方阵组成.

确定 $A$ 的稳定化子(stabilizer), 并推导出

\[SO(n)\cdot A\cong SO(n)/SO(2)\times SO(n-2).\]

此齐性空间也可被解释为由 $\mathbb{R}^n$ 中所有 2 维平面组成的 Grassman 流形 $\widetilde{G}_2(\mathbb{R}^n)$.

问这个轨道的维数是多少?

假设 $n=4$, 证明 Grassmannian $\widetilde{G}_2(\mathbb{R}^n)$ 微分同胚于 $S^2\times S^2$.

现在假设群 $SO(n)$ 以通常的方式作用在 $\mathbb{R}^n$ 上, 且以对角方式作用在 $\mathbb{C}^n$ 上. 验证, 这定义了 $SO(n)$ 在 $\mathbb{C}P^{n-1}$ 上的一个作用. 并且点 $[1,i,0,\ldots,0]$ 的轨道是二次方程 $\sum_{i=1}^{n}z_i^2=0$ 所确定的超曲面, 而且也等价地同胚于这里的 Grassmannian.