设 $\vec{\gamma}=\vec{\gamma}(s)$ 是一空间曲线. 记

\[
A=A(s)=
\begin{pmatrix}
0 & \kappa(s) & 0\\
-\kappa(s) & 0 & \tau(s)\\
0 & -\tau(s) & 0
\end{pmatrix}.
\]

设曲线 $\vec{\gamma}_j=\vec{\gamma}_j(s)$, $j=1,2,3$ 是方程组

\[
\begin{cases}
\frac{d\vec{\gamma}_1}{ds}=a_{1}^{i}\vec{\gamma}_i,\\
\frac{d\vec{\gamma}_2}{ds}=a_{2}^{i}\vec{\gamma}_i,\\
\frac{d\vec{\gamma}_3}{ds}=a_{3}^{i}\vec{\gamma}_i.
\end{cases}
\]

在初始条件

\[\vec{\gamma}_1(0),\ \vec{\gamma}_2(0),\ \vec{\gamma}_3(0) \text{是一组标准正交基}\]

下的惟一解.

(i) 证明 $\vec{\gamma}_1(s),\ \vec{\gamma}_2(s),\ \vec{\gamma}_3(s)$ 对所有 $s$ 都是标准正交的.

(ii) 定义

\[\gamma^*=\gamma_0+\int_0^s\gamma_1(s)ds\]

证明

\[\gamma_1(s)=v^*(s),\quad\gamma_2(s)=n^*(s),\quad\gamma_3(s)=b^*(s)\]

其中 $v^*(s)$, $n^*(s)$, $b^*(s)$ 是相应于 $\gamma^*(s)$ 的切向量、法向量和副法向量.

并证明 $\gamma^*(s)$ 的曲率和挠率与原曲线 $\gamma(s)$ 的曲率、挠率一致. 即 $\kappa^*(s)=\kappa(s)$, $\tau^*(s)=\tau(s)$.